Постройте окружность с центром в точке О и радиуса 4см. Из точки О проведите отрезок ОМ=7см. Проведите окружности с центром в точке М и радиусом: а) 3см; б) 4 см; в)2см. В каждом случае укажите взаимное расположение окружностей.

В абсолютно любой трапеции (не важно, чему равны ее стороны)))
треугольники, получившиеся после пересечения диагоналей трапеции, обладают следующими свойствами:
треугольники, опирающиеся на боковые стороны трапеции
(выделены желтым цветом на рис.)), имеют равные площади...
это равновеликие треугольники... это легко доказывается...
треугольники, опирающиеся на основания трапеции, всегда подобны,
т.к. они содержат вертикальные (равные) углы и
накрест лежащие (тоже равные) углы
(при параллельных основаниях трапеции)
треугольники AOD и DOC в принципе могут быть подобны,
если у них есть два равных угла...
равные углы будут лежать против соответственных сторон,
например, против самых маленьких сторон треугольников
---самые маленькие углы))) найдем их косинусы по т.косинусов
cos(BDC) = (12² + 10² - 2.5²) / 240 = 23775/24000 = 317/320 = 0.990625
cos(BDA) = (12² + 7.5² - 5²) / 180 = 17525/18000 = 701/720 = 0.9736(1)
косинусы не равны ---> углы не равны ---> треугольники НЕ подобны)))

Пусть  АК - биссектриса треугольника АВС , ВМ - его медиана. 
Т.к. биссектриса треугольника АВМ перпендикулярна стороне ВМ, она является его высотой.
Если биссектриса треугольника совпадает с высотой, она является и его медианой,⇒
треугольник ВАМ - равнобедренный. 
АВ=АМ.
ВМ - медиана треугольника  АВС, ⇒
 АВ=АМ=МС, и
АС=2 АВ. 
Пусть средняя по длине сторона равна х 
Если предположить, что АВ - средняя сторона, то
АС=х+1, ВС=х-1
Тогда АС=2х=х+1, откуда х=1, и ВС=1-1=0, чего быть не может. ⇒
ВС- средняя сторона. 
ВС=х, АС=х+1, АВ=х-1 
АС=2(х-1)=2х-2 
2х-2=х+1 ⇒
х=3 
ВС=3 
АВ=3-1=2 
АС=3+1=4 - это наибольшее значение самой длинной стороны