4. В прямоугольном треугольнике ABC (ZC = 90 °) BC = 4, ZABC = 45 °. Рисуется круг так, чтобы центр находился в точке А. а) Для контакта окружности и прямой BC; Б) так, чтобы окружность и прямая BC не имели общих точек; в) Каков радиус окружности, чтобы окружность и прямая BC имели две общие точки?

Проведём сечение пирамиды через рёбра BS и ES.
Плоскость этого сечения будет перпендикулярной к заданной плоскости сечения, так как диагональ АС перпендикулярна диагонали ВЕ.
В сечении получим 2 треугольника: BSE и KME.
Ребро BS как гипотенуза равно 6√2.
КМ - это линия наибольшего наклона плоскости.
Отрезок ВК на стороне ВЕ равен половине стороны шестиугольника как катет, лежащий против угла в 30 градусов.
Отношение ВК : ВЕ равно отношению SM : SE (3 / 12 = (3/√2) / (6√2), или 1/4 = 1/4.
Отсюда вывод: треугольники BSE и KME подобны. Отрезок КМ, как и BS, имеет наклон к плоскости основы под углом 45 градусов.

Сечение шестиугольной пирамиды плоскостью, проходящей через диагональ АС под углом 45 ° представляет собой пятиугольник, состоящий из трапеции и треугольника.

У трапеции нижнее основание АС равно
 AC = 2*6*cos30°  = 2*6*(√3/2) = 6√3.
Верхнее основание трапеции определяется из условия пересечения заданной плоскости с рёбрами SD и DF.
В плоскости ВSE верх трапеции - точка Н.
Высоту трапеции КН найдём из треугольника КНF₁, образованного пересечением заданной плоскости и плоскости, проходящей чрез рёбра SD и DF.
В этом треугольнике известно основание КF₁ = 3 + 3 = 6 и угол НКF₁ = 45°. Поэтому он подобен треугольнику F₁BS по двум углам.
Сторона F₁B равна 6 + 3 = 9.
Коэффициент подобия равен 6/9 = 2/3.Тогда КН = (2/3)*BS = (2/3)*6√2 = 4√2. Высота точки Н равна 4√2*sin 45° = 4√2*(√2/2+ = 4.
Верхнее основание трапеции определяется из условия подобия треугольников SH₁H₂ и SDF по высотам от вершины S, равными 2 и 6.
H₁H₂ = DF*(2/6) = 6√3*(1/3) = 2√3.

Тогда S₁ = (1/2)*((6√3)+(2√3))*4√2 = 16√2.

У треугольника ВМЕ высота точки М равна 6*(9/12) = 4,5.
Отсюда высота треугольника H₁МH₂ равна (4,5 - 4)/sin 45° = (1/2)/(√2/2) = (1/2)√2.
Тогда S₂ = (1/2)*(2√3))*((1/2)√2) = (1/2)√6.

Площадь сечения равна:
 S = S₁ + S₂ = (16√6) + (√6/2) = (33√6)/2 =   40.41658.

ю́жно-африка́нская респу́блика  (сокращённо  юа́р, часто обозначается просто как  ю́жная а́фрика;   африк.  republiek van suid-afrika,  .  republic of south africa)  —  государство  в  южной части африканского континента. на севере граничит с  намибией,  ботсваной  и  зимбабве, на северо-востоке  — с  мозамбиком  и  свазилендом. внутри территории юар находится государство-анклав  лесото[3].

юар является одной из самых национально разнообразных стран африки и имеет наибольшую долю белого,азиатского  и смешанного населения на континенте. страна обладает богатыми минеральными ресурсами, а также является самой развитой в африке и имеет относительно прочные мировые позиции[4]. единственная африканская страна в  g20.

важнейшим пунктом в и политике юар стал расовый конфликт между чёрным большинством и белым меньшинством. своей кульминации он достиг после того, как в  1948 году  был установлен режим  апартеида, просуществовавший до  1990-х годов. инициатором введения  дискриминационных  законов стала  национальная партия(в    её называли националистической). эта политика к долгой и кровопролитной борьбе, в которой ведущую роль сыграли чёрные активисты, такие как  стив бико,  десмонд туту  и  нельсон мандела. позже к ним присоединились многие белые и цветные (потомки смешанного населения), а также южноафриканцы  индийскогопроисхождения. определённую роль в крахе апартеида сыграло также давление со стороны  международного сообщества. в результате, смена политической системы произошла сравнительно мирно: юар  — одна из немногих стран африки, где ни разу не был осуществлён  государственный переворот[5].

новую юар часто называют радужной страной, этот термин был придуман архиепископом десмондом туту (и поддержан нельсоном манделой) как метафора нового, разнокультурного и многонационального общества, которое преодолевает разделения, восходящие к эпохе апартеида[6].

во времена апартеида в юар члены  африканского национального конгресса  использовали слово «азания» для обозначения своей страны, как альтернативу неприемлемому для них тогда официальному названию. слово «азания» также применялось в качестве названия юар в официальной  китайской  дипломатической лексике в то время, когда юар поддерживала дипломатические отношения с  тайванем  (не признаваемым китаем).

юар  — первое государство, имевшее, но добровольно отказавшееся от  ядерного оружия.