Стороны оснований прямоугольного параллелепипеда равны 3 и 8 см, а диагональное его сечение - квадрат. Найдите радиус цилиндра, описанного около параллелепипеда. Найдите объем шара, имеющего такой же радиус что и описанный цилиндр.

На чертеже дробь (4/6) значит корень). И там вершины перепутаны (извиняюсь).

1) угол А = С=  45° (по условию) Т.к. углы при основании равны, то этот треугольник равнобедренный. Следовательно, АВ=АС=4 √ 6.

2) Найдем угол В:
Угол В = 180° - угол С - угол А
Угол В = 180° - 45° - 45°
Угол В = 90°
Следовательно, треугольник АВС прямоугольный и равнобедренный.

3) Из треугольника АВС, где угол В = 90°
По теореме Пифагора следует:
АС² = АВ² + ВС²
АС² = (4 √ 6)² + (4 √ 6)²
АС² = 16×6 +16×6
АС² = 96 + 96
АС² = 192
АС =  √ 192
√ 192 =  √ 4 ×  √ 16 ×  √ 3 = 2×4× √ 3 = 8 √ 3
ответ: 4 √ 6; 90°; 8 √ 3

Построим сумму векторов а и b и их разность.
↑АС = ↑р = ↑а + ↑b
↑DB = ↑q = ↑a - ↑b
Чтобы найти угол между векторами p и q, построим вектор, равный вектору q, с началом в точке А.
∠ЕАС - искомый.
Из ΔABD найдем длину вектора q по теореме косинусов:
|↑q|² = AB² + AD² - 2·AB·AD·cos60° = 25 + 64 - 2·5·8·1/2 = 89 - 40 = 49
|↑q| = 7
Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна 180°, значит ∠АВС = 120°.
Из ΔABС найдем длину вектора р по теореме косинусов:
|↑p|² = AB² + BC² - 2·AB·BC·cos120° = 25 + 64 + 2·5·8·1/2 = 89 + 40 = 129
|↑p| = √129

Из ΔЕАС по теореме косинусов:
cos α = (AE² + AC² - EC²) / (2 · AE · AC)
cos α = (49 + 129 - 256) / (2 · 7 · √129) = - 78 / (14√129) = - 39√129 / 903
cos α = - 13√129/301