Постройте сечение правильного тетраэдра SABC плоскостью, проходящей через точку M - середину ребра AS, точку N - центр грани BCS и точку P, лежащую на высоте BH треугольника ABC так, что HP=2BP. В каком отношении плоскость сечения делит ребро AB?

Правильный тетраэдр, все грани - правильные треугольники.

В правильном треугольнике высоты/биссектрисы/медианы к любой стороне совпадают.

BH - высота/медиана, HP/PB =2/1 (по условию)

Центр △BCS - пересечение биссектрис/медиан.

BD - медиана, BN/ND =2/1 (свойство медиан треугольника)

Плоскость (DBH)

HP/PB *BN/ND *DE/EH =1 (т Менелая)

2/1 *2/1 *DE/EH =1 => DE/EH =1/4

DE/HD =1/3

Плоскость (ACS)

HD - средняя линия в △ACS => HD||AS, HD =AS/2 =SM

△DKE~△SKM (по накрест лежащим при HD||AS)

DK/SK =DE/SM =DE/HD =1/3

(DK=x, SK=3x, SD=DC=4x) => SK/KC =3/5. Нашли точку K.

Плоскость (BCS)

CL/LB *BN/ND *DK/KC =1

CL/LB *2/1 *1/5 =1 => CL/LB =5/2. Нашли точку L.

Плоскость (ABC)

CL/LB *BP/PH *HF/FC =1

5/2 *1/2 *HF/FC =1 => HF/FC =4/5

(HF=4x, FC=5x, AH=HC=x, AF=3x) => AF/FH =3/4

HP/PB *BT/TA *AF/FH =1

2/1 *BT/TA *3/4 =1 => BT/TA =2/3. Нашли точку T.

Сечение MKLT

Плоскость сечения делит ребро AB в отношении 3:2 от точки A.