и 
в точках А и В и А1 и В1 соответственно (А и В лежат на ; A1 и B1 лежат на ). Найти периметр и площадь четырехугольника AA1B1B, если АВ = 4 см, А1В = 14 см и А1В = В1А.
Объяснение:
SA₁B₁C₁=S
Медианы делят треугольник на 6 равновеликих треугольников с площадями SABC/6
тогда площади треугольников SOAB=SOAC=SOBC=(1/3)SABC так как каждый из них состоит из двух таких треугольников
и медианы в точке пересечения делятся в отношении 1:2
пусть точка О- точка пересечения медиан
тогда получается что
OA=(2/3)AA₂
AA₁=(1/2)AA₂
OA₁=(2/3)AA₂-(1/2)AA₂=(1/6)AA₂
OA₁/OA=(1/6)AA₂/(2/3)AA₂=1/4
аналогичным образом
OB₁/OB=1/4
OC₁/OC=1/4
тогда треугольники OA₁B₁, OA₁C₁, OB₁C₁ подобны треугольникам OAB, OAC, OBC с коэффициентом подобия 1/4
отношения площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия то есть (1/4)²=1/16
SOA₁B₁=(1/16)SOAB
SOA₁C₁=(1/16)SOAC
SOB₁C₁=(1/16)SOBC
сложим эти равенства
SOA₁B₁+SOA₁C₁+SOB₁C₁=(1/16)(SOAB+SOAC+SOBC)
SA₁B₁C₁=(1/16)SABC
SABC=16SA₁B₁C₁=16S
SABC=16S
Отношение катета МЕ и гипотенузы ВЕ=3:5, значит, второй катет⊿ МВЕ (египетского) равен 8 см (и по т.Пифагора ВМ=8 см). По условию ВС - перпендикуляр к плоскости треугольника, следовательно, перпендикулярен ВЕ и ВМ. Расстояние от точки до прямой равно длине отрезка, проведенного перпендикулярно из точки к этой прямой. ВМ⊥МЕ и является проекцией наклонной СМ. По т. о 3-х перпендикулярах СМ⊥МЕ и является искомым расстоянием. ВМ=8 см, СВ=6 см ⇒ ∆ ВСМ - египетский. СМ=10 см ( можно проверить по т.Пифагора).
