24 см
Объяснение:
1) Пусть РО - расстояние от точки Р до плоскости (т.О ∈ плоскости, РО - высота пирамиды). Поскольку точка P находится на расстоянии 25 см от всех сторон треугольника, то т. О - центр круга, впис. в треугольник (r).
р=(20+34+42)/2=48
по формуле Герона S = 
=
cм²
r=S/p, r=336/48= 7 см
За т. Пифагора 
=
=24 см
2) Поскольку т. S находится на одинаковом расстоянии от вершин треугольника, то т.О - центр круга, опис. навк.треугольника.
Далее аналогично: найти р = 42 , потом S по формуле Герона (S = 210), а потом найти R = 39*28*17/4*210=22,1
Далее использовать т. Пифагора 
=22,9
ответ: Sопис=100πсм²; Sвпис=16πсм²
Объяснение:
1) центр описанной окружности в прямоугольном треугольнике – это середина гипотенузы, поэтому
R=(12+8)/2=20/2=10см
2) Обозначим вершины треугольника А В С а точки касания К М Е. Стороны треугольника являются касательными к вписанной окружности и отрезки касательных соединяясь в одной вершине равны от вершины до точки касания. Поэтому: МА=КА=12см;
ВК=ВН=8см, СМ=СЕ. Найдём радиус вписанной окружности через периметр треугольника, поэтому сначала нужно найти его стороны. Пусть МС и СЕ=х, тогда АС=12+х; ВС=8+х; АВ=12+8=20см.
Составим уравнение используя теорему Пифагора: АС²+ВС²=АВ²
(12+х)²+(8+х)²=20²
144+24х+х²+64+16х+х²=400
2х²+40х+208-400=0
2х²+40х-192=0 |÷2
х²+20х-96=0
Д=400-4×(-96)=400+384=784
х1= (-20-28)/2= –58/2= –29
х2=(-20+28)/2=8/2=4
Значение х1 нам не подходит поскольку сторона не может быть отрицательной поэтому используем х2=4
Итак: АС=12+4=16см
ВС=8+4=12см
АВ=20см
Найдём периметр треугольника:
Р=16+12+20=48
Чтобы найти радиус нам нужен полупериметр: р=48/2=24см
Вычислим радиу по формуле:
r=√((p-a)(p-b)(p-c)/24)
r=√((24-20)(24-16)(24-12)/24)=
=√(4×8×12/24)=√(384/24)=√16=4см
Площадь любой окружности вычисляется по формуле: πr², подставим в неё найденные данные и найдём Sопис и S впис:
Sопис=π×10²=100πсм²
Sвпис=π×4²=16πсм²
