47б В прямоугольном треугольнике АСВ ( C = 90°) , АВ = 12, ABC = 30°. С центром в точке А проведена окружность. Каким должен быть ее радиус, чтобы: а) окружность касалась прямой ВС;
b) окружность не имела общих точек с прямой ВС;
c) окружность имела две общие точки с прямой ВС?

Построим  окружность с центром в вершине А с радиусом большим, чем расстояние от точки А до прямой ВС (черная окружность).
Эта окружность пересечет прямую ВС в двух точках (назовем их К и М).

Построим две окружности (на рисунке - синие) с центрами в точках К и М одинакового произвольного радиуса (большего половины отрезка КМ).

Через точки пересечения этих окружностей проведем прямую. Точку пересечения этой прямой с прямой ВС обозначим Н.

АН - искомая высота.

Красная прямая всегда пройдет через точку А, потому что точка А  равноудалена от концов отрезка КМ и, значит, лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку. А красная прямая - это и есть серединный перпендикуляр к отрезку КМ.

Объяснение:

Проводим диаметры АС и ВД: получаем прямоугольник АВСД (вписанные углы, опирающиеся на диаметр - прямые). Проведём АЕ (т.Е произвольная на стороне СД) до пересечения с продолжением ВС. Получим т.М. Обозначим точку пересечения диагоналей трапеции АВСЕ как т.L. Проведём ML. Точка пересечения ML с АВ - т.К - середина основания трапеции, т.к. прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей  и точку пересечения продолжений боковых сторон трапеции делит её основания пополам.

Осталось провести прямую ОК - перпендикуляр к АВ, т.к. ΔАОВ - равнобедренный, а значит, медиана ОК=высота.