1. Так как 15 < 12 + 9, треугольник с такими сторонами существует. Сравним квадрат большей стороны с суммой квадратов двух других сторон: 15² и 12² + 9² 225 и 144 + 81 225 = 225, значит по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник ответ: в) прямоугольный.
2. Коэффициент подобия: k = 2/5. Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия: S₁ : S₂ = 4 : 25 8 : S₂ = 4 : 25 S₂ = 25 · 8 : 4 = 50 ответ: Нет правильного ответа.
3. АВ = ВС = (Рabc - AC) / 2 = (32 - 12) / 2 = 20 / 2 = 10 см Найдем площадь по формуле Герона (р - полупериметр): Sabc = √(p·(p - AB)·(p - BC)·(p - AC)) Sabc = √(16 · 6 · 6 · 4) = 4 · 6 · 2 = 48 см² Из другой формулы площади найдем радиус вписанной окружности: Sabc = p·r r = Sabc / p = 48 / 16 = 3 см ответ: б) 3 см
4. Проведем радиусы в точки касания. Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны: АК = АМ = 5 см, ВК = ВЕ = 12 см СМОЕ - квадрат со стороной, равной радиусу вписанной окружности, который обозначим r. По теореме Пифагора составим уравнение: (5 + 12)² = (5 + r)² + (12 + r)² 17² = 25 + 10r + r² + 144 + 24r + r² 2r² + 34r + 169 = 289 r² + 17r - 60 = 0 D = 289 + 240 = 529 r = (- 17 + 23) / 2 = 6 / 2 = 3 Второй корень отрицательный, не подходит по смыслу задачи. АС = 5 + 3 = 8 см ВС = 12 + 3 = 15 см ответ: г) 8 см и 15 см.
5. Центр окружности, описанной около прямоугольника, лежит в точке пересечения его диагоналей, значит радиус равен половине диагонали, которую находим по теореме Пифагора: r = d/2 = √(a² + k²) / 2
; 0), B (
; 5). 
