Вариант 2 1. Дано: ∠B = ∠C = 90°, ∠ADB = 40°, ∠BDC = 10° (рис. 3). Доказать:
ΔABD = ΔDCA.
2. В равнобедренном треугольнике угол при основании в четыре раза
больше угла между боковыми сторонами. Найдите углы треугольника.
3. Параллельные прямые а и b пересечены двумя параллельными
секущими АВ и CD, причем точки А и С принадлежат прямой а, а
точки В и D — прямой b. Доказать: АВ = CD.
4. * Дано: АВ = ВС, АС = 10 см (рис. 4).
а) Между какими целыми числами заключена длина высоты AВС?
б) Найдите сумму длин отрезков, соединяющих точку Т с серединами
сторон АВ и ВС.

нужно сегодня

1. Доказательство равенства треугольников ΔABD и ΔDCA:
Из условия у нас есть следующие равенства углов:
∠B = ∠C = 90° (прямые углы)
∠ADB = 40°
∠BDC = 10°

Рассмотрим треугольник ABC. Сумма углов треугольника равна 180°, поэтому ∠ABC = 180° - ∠B - ∠C = 180° - 90° - 90° = 0°. Получается, угол ∠ABC равен нулю.

Так как ∠BDC = 10°, то ∠ADC = 180° - 10° = 170°.

В треугольнике ADC сумма всех углов должна быть равна 180°. Так как ∠ADC = 170°, то ∠CAD = 180° - ∠ADC = 180° - 170° = 10°.

Рассмотрим треугольники ABD и DCA. У них есть две пары равных углов:
∠ADB = 40° (дано)
∠ACD = ∠CAD = 10° (доказано)
∠DAB = ∠CDA = 90° (доказано)

Теперь мы знаем, что у треугольников равны по двум углам, значит, они равны.

2. Нахождение углов в равнобедренном треугольнике:
Пусть угол между боковыми сторонами равен x градусам. Так как треугольник равнобедренный, то угол при основании равен (4x) градусам.

Сумма углов треугольника равна 180°, поэтому у нас есть следующее уравнение:
(4x) + x + x = 180°
6x = 180°
x = 180° / 6
x = 30°

Теперь мы нашли значение x, которое равно 30°. Заменяем его в уравнении и находим значения углов:
Угол при основании: 4x = 4 * 30 = 120°
Угол между боковыми сторонами: x = 30°

3. Доказательство равенства отрезков АВ и CD:
Пусть М и N - середины сторон АВ и CD соответственно.

Так как АВ || CD и АМ || СN (секущие, пересекающие параллельные прямые), то треугольники АМВ и СNВ подобны (по признаку угол-прямоугольник - углы А и С прямые).

Из подобия треугольников следует, что отношение соответствующих сторон равно.
То есть, AM/СN = AB/CD.

Середины отрезков АВ и CD делят данные отрезки пополам. Значит, AM = AB/2 и CN = CD/2.

Подставим значения в уравнение:
(AB/2)/(CD/2) = AB/CD.

Таким образом, получаем, что AB = CD.

4. Решение задачи:
а) Для нахождения длины высоты треугольника АВС нужно воспользоваться теоремой Пифагора.
Так как АВ = ВС и треугольник равнобедренный, то высота делит его на два прямоугольных треугольника.
Поэтому длина высоты равна √(АС² - (ВС/2)²).

Подставляем значения: АС = 10 см и ВС = АВ.
Делаем замену и решаем уравнение:
h = √((10)² - (ВС/2)²).

б) Для нахождения суммы длин отрезков, соединяющих точку Т с серединами сторон АВ и ВС, нужно вычислить длину отрезка ТМ и ТN, где М и N - середины сторон АВ и ВС соответственно.

Середина отрезка находится путем нахождения среднего значения между координатами точек. То есть, координата точки М будет равна (х₁ + х₂)/2, а координата точки N будет равна (у₁ + у₂)/2.

Затем применяется формула расстояния между двумя точками: √((х₂ - х₁)² + (у₂ - у₁)²).

Подставляем значения и решаем уравнение.