Тангенс угла наклона прямой к оси Ох равен угловому коэффициенту к этой прямой в виде у = кх + в.
Тогда прямая АС имеет вид у = (1/4)х (в = 0, если точка А в начале координат).
Перпендикулярная прямая ВС имеет к = -1/к(АС) = -1(1/4) = -4.
ВС: у = -4х + в. Подставим координаты точки В(34; 0).
0 = -4*34 + в, отсюда в = 4*34 = 136.
Находим координату х точки Н как абсциссу точки пересечения прямых АС и ВС:
(1/4)х = -4х + 136,
(17/4)х = 136,
х = 136*4/17 = 544/17 = 32.
ответ: АН = 32.
Возможно более простое решение.
Пусть СН = х, АН = 4х.
Угол В = 90 - А.
tg B = ctg А, то есть tg B = 1/(1/4) = 4.
Тогда отрезок ВН = х/4.
Сторона АВ = 34 = 4х + (х/4).
Или (17/4)х = 34, откуда х = 34*4/17.
Так как АН = 4х, то получаем этот же ответ: АН = 4*34*4/17 = 32.
