Билет №1 1. Определение параллелограмма. Признаки параллелограмма, доказательство любого признака. 2. Формула площади треугольника. Билет №2 1. Определение прямоугольника. Признак прямоугольника (с доказательством).

2. Формула площади трапеции.

Билет №3 1. Определение ромба. Свойства ромба. Доказательство особого свойства ромба. 2. Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике (формулировка и формулы).

Билет №4 1. Понятие многоугольника. Выпуклый многоугольник. Сумма его углов. 2. Формула площади параллелограмма.

Билет №5 1. Определение подобных треугольников. Доказать теорему об отношении площадей подобных треугольников. 2. Трапеция. Определение, виды. Свойства равнобедренной трапеции.

Билет №6 1. Площадь треугольника (с доказательством). 2. Значения синуса, косинуса и тангенса для углов 30°, 45° и 60°.

Билет №7 1. Площадь трапеции (с доказательством). 2. Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника.

Билет №8 1. Теорема Пифагора (с доказательством). 2. Вписанная и описанная окружности (определение с примерами)

Билет №9 1. Признаки подобия треугольников, доказательство первого признака подобия треугольников. 2. Площадь многоугольника. Свойства площадей.

Билет №10 1. Средняя линия треугольника (определение и теорема с доказательством). 2. Формула Герона (формулировка).

Билет №11 1. Свойства серединного перпендикуляра к отрезку (определение и теорема). 2. Формулы площади ромба.

Билет №12 1. Касательная к окружности, свойства касательной (с доказательством). 2. Многоугольник. Виды многоугольников. Периметр многоугольника.

Билет №13 1. Свойство биссектрисы угла. 2. Центральная и осевая симметрия. 3. Мальчик от дома по направлению на восток 800 м. Затем повернул на север и 600 м. На каком расстоянии (в метрах) от дома оказался мальчик?

Билет №14 1. Теорема о вписанном угле. 2. Подобные треугольники. Отношение периметров и площадей подобных треугольников. 3. В равнобедренной трапеции ABCD углы, прилежащие к стороне AD, равны 45°. Найдите площадь трапеции, если основания равны 13 и 27 см.

Билет №15 1. Равнобедренная трапеция. Свойства равнобедренной трапеции (доказательство одного из свойств). 2. Сформулируйте теорему Фалеса.

Обозначим через х длину того катета данного прямоугольного треугольника, который составляет с гипотенузой угол в 30°, а через у — длину второго катета.

Используя формулы сторон прямоугольного треугольника, выразим через х длину второго катета:

у = х * tg( 30°) = x * √3.

Согласно условию задачи, площадь данного прямоугольного треугольника равна 32√3.

Поскольку площадь любого прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов, следовательно, можем составить следующее уравнение:

х * х * √3 / 2 = 32√3.

Решаем полученное уравнение:

х² = 32√3 / (√3/2);

х² = 64;

х = 8.

Зная длину первого катета, находим длину второго:

у = x * √3 = 8√3.

Используя теорему Пифагора, находим длину гипотенузы:

√(8² + (8√3)²) = √(64 + 64 * 3) = √(64 * 4) = 8 * 2 = 16.

ответ: длина гипотенузы равна 16.


1)

Центральный угол в развёртке боковой поверхности конуса равен 120°. Высота конуса=4√2. Найдите его объем.

----------

  Образующая конуса L- радиус окружности с центром В, частью которой является его развертка АВС.

Формула длины окружности =2πR =2πL, где L- образующая конуса.

  Т.к. угол АВС=120°, а полная окружность содержит 360°, длина дуги АС=1/3 длины окружности, содержащей развертку конуса.

◡AC=2πL/3

  В то же время дуга АС этой окружности равна длине окружности основания конуса.

2πr=2πL/3 ⇒ L=3r

  Из треугольника, образованного высотой конуса и радиуса ( катеты) и образующей ( гипотенуза)  найдем по т.Пифагора радиус основания конуса.

L²-r²=h²

9r²-r²=32

r²=32:8=4

V(кон)=πr²•h/3

V=(π4•4√2):3=(π16√2):3 

  (ед. объёма)

2)

  В правильной треугольной пирамиде расстояние от вершины основания до противолежащей боковой грани= m. Боковые грани наклонены к основанию под углом a (альфа). Найдите объем вписанного в пирамиду конуса.

   Правильная пирамида МАВС – это пирамида, основанием которой является правильный треугольник АВС, а вершина М пирамиды проецируется в центр О этого треугольника.

   Образующей вписанного в пирамиду конуса является апофема пирамиды, а основание этого конуса ограничено окружностью, вписанной в основание пирамиды, т.е. в ∆ АВС.

   Радиус  конуса равен 1/3 высоты СН  правильного треугольника АВС

   Расстояние от вершины С основания АВС до грани АМВ - высота треугольника СМН, плоскость которого перпендикулярна грани АМВ и основанию АВС.

   Угол α образован прямыми СН и МН, перпендикулярными ребру АВ в точке Н.

r=OН=(КС:sinα):3=(m:sinα):3 =m:3sinα ⇒

высота МО=OH•tgα=(m:3sinα):sinα/cosα=m:3cosα