З даної точки що знаходиться на відстані 8 см від площини проведено до цієї площини дві рівні похилі. Знайти їх довжини, якщо відомо, що вони утворюють кут 60º, а їх проекції перпендикулярні.

1.
Большей будет диагональ, соединяющая вершины острых углов оснований.
Ребро AA₁ перпендикулярно плоскости основания. Значит, АС проекция A₁С на плоскость основания. ⇒∠A₁СА = 45°.
ΔADC: AD = 2, DC = 2√3, ∠ADC = 180° - 30° = 150° (сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне 180°). По теореме косинусов:
AC = √(AD² + DC² - 2AD·DC·cos150°) =
      = √(4 + 12 + 2·2·2√3·√3/2) = √(16 +12) = √28 = 2√7
ΔA₁СА: ∠A₁AC = 90°, ∠A₁СА = 45°, ⇒ ∠CA₁А = 45°, т.е. треугольник равнобедренный, A₁А = АС = 2√7
Sбок = Pосн · A₁А = (2 + 2√3)·2 · 2√7 = 8√7·(1 + √3)

3.
Проведем A₁H⊥D₁C₁. DD₁⊥(A₁B₁C₁)⇒DD₁⊥A₁H ⇒A₁H⊥(D₁C₁C)
Тогда НС - проекция A₁C на плоскость (D₁C₁C). ∠ A₁СH искомый.
ΔA₁СА: ∠A₁AC = 90°, по теореме Пифагора
               A₁C = √(АС² + АА₁²) = √(28 + 28) = 2√14
Sabcd = AD·DC·sin150° = 2·2√3·1/2 = 2√3
Sabcd = DC·A₁H
2√3 = 2√3 · A₁H
A₁H = 1
ΔA₁HC: ∠A₁HC = 90°,
               sin∠A₁СH = AH/A₁C = 1/(2√14) = √14/28

2.
Пусть О - основание высоты пирамиды. Проведем из точки О перпендикуляры ОТ, ОН и ОК к ребрам основания. Тогда ОТ, ОН и ОК проекции наклонных МТ, МН и МК на плоскость основания. Значит, и МТ, МН и МК перпендикулярны соответствующим ребрам основания.
⇒ ∠МТО =∠МКО = ∠МНО - линейные углы двугранных углов при основании.
⇒ ΔМТО =ΔМКО = ΔМНО по катету (МО общий) и противолежащему острому углу.
⇒ О - центр окружности, вписанной в основание.

ΔАВС: ∠С = 90°, по теореме Пифагора
             АВ = √(ВС² + АС²) = √(36 + 64) = 10
r = p - c, где r - радиус окружности, вписанной в основание, р - его полупериметр, с -гипотенуза.
r = (10 + 8 + 6)/2 - 10 = 2
ΔMOH: ∠MOH = 90°, по теореме Пифагора
               MH = √(MO² + OH²) = √(45 + 4) = 7
MH = MK = MT ⇒
Sбок = Pосн/2 · MH = 12 · 7 = 84 см²
Sосн = AC·CB/2 = 24 см²
Sполн = Sбок + Sосн = 84 + 24 = 108 см²

1. Запишем формулу площади ромба:
S=a^2 * sinA=10^2 *sin120
По формулам приведения заменим синус 120:
sin120=sin(180-120)=sin60
S=10^2 * sin60
[tex]S}=100*\frac{\sqrt{3}{2}=50\sqrt{3}
2. По теореме косинусов:(рисунок во влажении)
LM^2=KM^2+K^2 -2KM*KL*cosK
9=16+4-2*2*4*cosK
-16cosK=9-20
cosK=11/16
ответ: 11/16
3. По теореме о сумме внутренних односторонних углах треугольника найдём угол ABC при BC//AD и АB-секущая.
ABC=180-BAD=180-60=120
Т.к. BM-биссектрисса, то угол ABM=120/2=60
По теореме о сумме углов треуголника найдём угол AMB в треугольнике BAM:
AMB=180-60-60=60
Значит треугольник ABM - равносторонний, следовательно MB=AB=AM=8
Запишем формулу периметра для ABCD.
P=2(AB+AD)
Обозначим отрезок MD за х, тогда AD=AM+MD=8+x
40=2(8+8+x)
20=16+x
x=4
Значит BMDC-трапеция.
Запишем формулу периметра трапеции:
P=a+b+c+d=(8+4)+8+8+4=32. Рисунок во влажении