Меньшая окружность проходит через 3 вершины, одна из который - острый угол, а две - вершины тупых углов. Острый угол является вписанным в эту окружность. И, наоборот, большая окружность проходит через вершину острого угола, потом- тупого, и - опять острого. В большую окружность вписан тупой угол.
r = 5; R = 12; a = ?
Обозначим за Ф половину тупого угла ромба. В треугольнике, вписанном в малую окружность, это будет острый угол, противолежащий стороне а;
Тогда по теореме синусов
a = 2*r*sin(Ф); sin(Ф) = a/(2*r);
Для тупоугольного равнобедренного треугольника, вписанного в большую окружность, угол при основании (противолежащий стороне а) равен (180 - 2*Ф)/2 = 90 - Ф;
Поэтому по той же теореме синусов
a = 2*R*sin(90 - Ф) = 2*R*cos(Ф); cos(Ф) = a/(2*R);
Осталось возвести это в квадрат и сложить
1 = a^2/(2*r)^2 + a^2/(2*R)^2; (2/a)^2 = 1/r^2 + 1/R^2;
Подставляем r = 5; R = 12; получаем а = 30/13.
опять все просто - треугольник составлен из 2 "египетских" (точнее, ему подобных, со сторонами 9, 12 ,15, приставленных друг к другу катетами 12).
Поэтому высота 12, площадь 108, периметр 48, радиус вписанной окружности 2*108/48 = 9/2;
Радиус описанной окружности можно найти по формуле R = abc/4S, это элементарно. Продолжу-ка я высоту к стороне 18 за основание до пересечения с перпендикуляром к боковой стороне, проведенным через один из концов основания. Получившийся треугольник вписанный в окружность прямоугольный треугольник, его гипотенуза - диаметр. Из подобия треугольников легко получается
(2*R)/15 = 15/12; R = 225/24 = 75/8;
Любопытно отметить, что 2*r = 72/8; то есть разница R - 2*r = 3/8 - очень маленькая. Эта разность равна 0 в правильном треугольнике.
