Основою паралелепіпеда ABCDA1B1C1D1 є ромб ABCD, сторона якого дорівнює 1 см. Бічне ребро паралелепіпеда перпендикулярне до площини основи. Відомо, що кут BAC = 60º, AA1 = 4 см. Точка М належить відрізку АС1 і ділить його у відношенні 1 : 2, рахуючи від точки А. Площина , яка проходить через точку М перпендикулярно до прямої АС1, перетинає пряму ВВ1 у точці Р. Знайдіть відрізок BP.

ответ:   (3-sqrt(3))/(6*(1+sqrt(3))

Объяснение:

1. Найдем площадь треугольника АВС.

Проведем высоту ВН.  Тогда АН=АС:2=2:2=1

Угол А=углу С=pi/6=180/6=30 градусов  ( так как АВС- равнобедренный и АС- основание)

Тогда АВ=ВС= АН/cosA=1/cos30= 2/sqrt(3)

Тогда площадь треугольника АВС= S(ABC)= AB*AC*sinA/2=

=2*2/sqrt(3)/2/2=1/sqrt(3)= sqrt(3)/3

По свойству биссектрисы угла треугольника:

BЕ:ЕC=AB:AC  =>  BD:DC= 2/sqrt(3): 2= 1: sqrt(3)

Тогда  BЕ:BC=  1: (1+sqrt(3))

Тогда площадь треугольника  АВЕ равна:

S(ABE)= S(ABC)* 1/(1+sqrt(3))= sqrt(3)/3/(1+sqrt(3))       (1)

Заметим , что поскольку AD - медиана, то площадь треугольника S(ADB)=1/2 *S(ABC)= sqrt(3)/6                                     (2)

Тогда площадь треугольника ADE нужно вычислять как разность площадей треугольников ABD  и  ABE.   ( (2)- (1) )

S (ADE)= sqrt(3)/6- sqrt(3)/(3*(1+sqrt(3))=

=(sqrt(3)*(1+sqrt(3)- 2*sqrt(3))/(6*(1+sqrt(3))=

=(3+sqrt(3)-2*sqrt(3))/(6*(1+sqrt(3))=

=(3-sqrt(3))/(6*(1+sqrt(3))

Высоты вместе с боковыми сторонами образуют два прямоугольных треугольника.В одном из них угол 45 градусов, значит он равнобедренный, так как и второй острый угол равен 45.Значит катеты равны 6см.Найдем гипотенузу, которая является боковой стороной, по теореме Пифагора: √36+36=√72=6√2см.
Во втором треугольнике высота лежит против угла в 30 градусов,значит она равна 1/2 гипотенузы, которая является  второй боковой стороной, то есть гипотенуза равна 12см.  ответ: боковые стороны равны 6√2см и 12см.