один из углов прямоугольного треугольника равен 60 градусов, а сумма гипотенузы равна 42 сантиметра. найти гипотенузу​

Длина одной стороны обозначаем  x дм , длина  другой стороны будет 48,96/x  дм.
* * *или  x дм  ;    (28-2x)/2 =(14 - x)  ⇒уравнение   x(14 -x) =48,96  * * *
Можно написать уравнение:
2(x +48,96/x) =28  ⇔ x +48,96/x =14 ⇔ x² +48,96 =14x   ⇔ 
x² -14x +48,96 =0  ;  D/4 =(14/2)² - 48,96  =7² - 48,96 =49 - 48,96 =0,04 = 0,2².
x₁= 7 -0,2 =6,8 (дм) ;  * * * длина другой  стороны 48,96/6,8  = 7,2 (дм)  * * *
x₂ =7+0,2 =7,2 (дм) .  * * * длина другой  стороны 48,96/7,2  = 6,8 (дм)  * * *

ответ : 6,8 дм ;  7,2 дм.
* * * * * * * * * * * * * *
{2x +2y =28 ;x*y =48,96. ⇔{2(x +y)=2*14 ; x*y =48,96. ⇔{x +y=14 ; x*y =48,96 .
По обратной  теореме Виета x  и y корни уравнения:  t² -14t +48,96 =0 .

ответ: стороны треугольника 13; 14; 15

Объяснение: проведенные отрезки - это биссектрисы данного треугольника (центр вписанной окружности - точка пересечения биссектрис треугольника);

получившиеся треугольники имеют равные высоты - это радиус вписанной окружности (любая точка биссектрисы угла равноудалена от сторон угла; радиус, проведенный в точку касания перпендикулярен касательной)

площади треугольников, имеющих равные высоты относятся как основания; получим отношения сторон треугольника (для определенности обозначим сторону (а) у треугольника с площадью 30; сторона (b) у треугольника площадью 28; (с) для площади 26):

а/b = 30/28 = 15/14

a/c = 30/26 = 15/13

b/c = 28/26 = 14/13

можно записать три стороны:

a = 15c/13; b = 14c/13 и с.

площадь всего треугольника = 30+28+26 = 84 и она связана со сторонами по формуле Герона)

полупериметр = ((15/13)+(14/13)+1)*(c/2) = 21c/13

84 = корень из((21с/13)*(6c/13)*(7c/13)*(8c/13))

84 = 7*3*4*c^2/169

c^2 = 169

c = 13

b = 14

a = 15