Пусть дан один равнобедренный треугольник и второй равнобедренный треугольник АВС с равными углам при основаниях, следовательно, и третий угол при вершине одного треугольника равен третьему углу второго.
Эти треугольники подобны. В подобных треугольниках все их элементы пропорциональны, следовательно, точка пересечения биссектрисы угла при основании с высотой второго треугольника делит ее в том же отношении, что в первом, т.е. 5:3
Высота ВН равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является и биссектрисой и медианой. АН=НС.
Имеем две биссектрисы треугольника АВС, которые пересекаются в некой точке О. Точка О пересечения биссектрис треугольника АВС является центром вписанной в него окружности.
Из точки О проведем перпендикуляры ОМ и ОК к боковым сторонам треугольника. М, К и Н - точки касания окружности и сторон треугольника.
ОМ=ОК=ОН= радиусу вписанной окружности.
Пусть коэффициент отношения отрезков высоты равен х.
Тогда ВО=5х, ОН=3х, ОМ=ОК=3х
Треугольники ВОМ и ВОК - египетские,т.к. катет и гипотенуза относятся как 3:5 ⇒
ВМ=ВК=4х ( можно проверить по т.Пифагора)
ВН=3х+5х=8х
Треугольники ВМО и ВНА - подобные, т.к. оба прямоугольные и имеют общий острый угол. Следовательно, треугольник ВНА тоже египетский, и из отношения сторон такого треугольника следует
АВ=10х, АН=6х. Или из подобия треугольников через отношение сходственных сторон
ВН:ВМ=АН:ОМ
ВН=3х+5х=8х
8х:4х=АН:МО
АН:МО=2
АН=6х
АВ=ВС=5*2=10х
ВН - медиана, поэтому
АС=6х+6х=12х
Периметр треугольника равен АВ+ВС+АС=48
Р=10х+10х+12х=32х
32х=48
х=1,5 см
АВ=ВС=1,5*10=15 см
АС=1,5*12=18 см
1)АВС - равнобедренный, тогда уголА=углуС(при основании), также
угол AMP=углу PKC и AM=KC(по условию),
то треугольникAMP=треугольникуPKC (по стороне и 2ум прилежащим углам), значит
все элементы в них равны, тогда АР=РС, значит ВР-медиана,
а в равнобедренном треугольнике медиана, проведенная из угла между боковыми сторонами является ещё и высотой и биссектрисой.
2)АМ=КС(по условию), причем уголА=углуС(при основании), значит
АМКС - равнобедренная трапеция, тогда МК параллельно АС.
т.к.ВР и медиана и биссектриса и высота [см. 1) доказательство],
то ВР перпендикулярно АС, но т.к. МК параллельно АС, то
ВР перпендикулярно МК
Надеюсь удачи ! )
