1. Используя данные, приведенные на рисунке 1, укажите верные утверждения:
1) ΔАВС - прямоугольный.
2) ΔАВС - равнобедренный.
3) ∠1 - внешний угол треугольника АВС.
4) ∠2 - внешний угол треугольника АВС.

2. АМ - биссектриса прямого угла равнобедренного прямоугольного треугольника АВС.
Найдите углы треугольника АВМ.

3. Докажите, что если на рисунке 2 DA и FВ - перпендикуляры к прямой АВ, а отрезки
ВDиАF равны, то ΔАВD = ΔВАF.

4. Прямая, параллельная основанию ВС равнобедренного треугольника АВС, пересекает
стороны АВ и АС в точках М и К. Найдите ∠МАКи ∠АКМ, если ∠В = 52°.

5. В равнобедренном треугольнике DЕС с основанием СD медианы СМ и DН
пересекаются в точке А. Докажите, что треугольник DАС - также равнобедренный.

К каждой задаче сделайте РИСУНОК, запишите СОКРАЩЕННОЕ УСЛОВИЕ.
При решении каждой задачи необходимо ПИСЬМЕННО АРГУМЕНТИРОВАТЬ ШАГИ РЕШЕНИЯ
УКАЗЫВАТЬ ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ФАКТЫ, УТВЕРЖДЕНИЯ, ФОРМУЛЫ, АКСИОМЫ, ТЕОРЕМЫ.
Рисунки и записи должны быть разборчивыми.
В конце решения каждой задачи должен быть ОТВЕТ.

Катеты данного прямоугольного треугольника равны 2√10 см и 6√10 см.

Объяснение:

Рисунок прилагается.

Дано: ABC прямоугольный треугольник, ∠ С = 90°, CH- высота, AH = 2 см - проекция катета AC на гипотенузу, BH = 18 см - проекция катета BC на гипотенузу.

Найти катеты AC и BC.

Обозначим для удобства катеты AC = a, BC = b, проекции катетов AH = a₁, BH = b₁, высоту CH = h.

Высота в прямоугольном треугольнике, опущенная на гипотенузу, равна среднему пропорциональному проекций катетов на гипотенузу.

h² = a₁*b₁ = 2 * 18 = 36;   h = 6

⇒ Высота треугольника, опущенная на гипотенузу CH = h = 6 см.

Из прямоугольного ΔACH по теореме Пифагора:

a² = h² + a₁² = 6²  + 2² = 36 + 4 = 40;   a = √40 = 2√10

Катет AC = 2√10 см/

Из прямоугольного ΔBCH по теореме Пифагора:

b² = h² + b₁² = 6²  + 18² = 36 + 324 = 360;   b = √360 = 6√10

Катет BC = 6√10 см.

Катеты данного прямоугольного треугольника равны 2√10 см и 6√10 см.

Боковая поверхность - 3 трапеции, средняя линяя у каждой из трех - 4;

2 из них - с высотой 1;

грань, "противоположная" ребру длинны 1, - это равнобедренная трапеция, её высоту и надо вычислить, чтобы получить ответ.

проводим "вертикальную" плоскость через ребро 1, делящую основания "пополам" (то есть эта плоскость проходит через высоты оснований пирамиды, выходящие из вершин ребра 1).

сечение пирамиды, которое получится - это трапеция с боковой стороной 1, перпендикулярной основаниям, и основаниями 3*sqrt(3)/2 и 5*sqrt(3)/2. четвертая сторона легко вычисляется, и равна 2. Это и есть высота наклонной грани трапеции (поскольку сечение перпендикулярно основаниям пирамиды);

ответ S = 4*1+4*1+4*2 = 16