Объяснение: ЗАДАНИЕ 1
Найдём ВС по теореме Пифагора:
ВС²=АС²-АВ²=13²-12²=169-144=25;
ВС=√25=5см
ОТВЕТ: ВС=5см
ЗАДАНИЕ 2
Также найдём АС по теореме Пифагора:
АС ²=АВ²+ВС²=24²+7²=576+49=625;
АС=√625=25см
ОТВЕТ: АС=25см
ЗАДАНИЕ 3
Катет АВ лежит напротив угла 30°, поэтому он равен половине гипотенузы:
АВ=АС/2=10/2=5см
ОТВЕТ: АВ=5см
ЗАДАНИЕ 4
Найдём угол АСВ через синус угла:
синус - это отношение противолежащего от угла катета к гипотенузе, поэтому:
sinACB=AB/AC=2√3/4=√3/2=60°
ОТВЕТ: угол АСВ=60°
ЗАДАНИЕ 5
Треугольник равнобедренный, поэтому АВ=ВС=4√2. Гипотенуза АС будет в √2 больше катета, поэтому:
АС=4√2×√2=4×2=8
ОТВЕТ: АС=8
ЗАДАНИЕ 6
Катет АВ лежит напротив угла 30°, поэтому он равен половине гипотенузы:
АВ=АС/2=6√2/2=3√2
Катет АВ является также катетом в ∆АДВ. ∆АДВ - равнобедренный, поскольку его острый угол ДАВ=45°, а сумма острых углов прямоугольного треугольника составляет 90°.
Поэтому угол Д=90-45=45°. Следовательно АВ=ВД=3√2.
Гипотенуза АД будет в √2 больше данных катетов:
АД=3√2×√2=3×2=6
ОТВЕТ: АД=6
ЗАДАНИЕ 7
Найдём АВ по теореме Пифагора:
АВ²=АД ²-ВД²=(√7)²-2²=7-4=3; АВ=√3
В ∆АВС угол В=60°, значит
угол САВ=90-60=30°. А катет лежащий напротив него равен половине гипотенузы. Пусть ВС=х, тогда АС= 2х. Составим уравнение используя теорему Пифагора:
(2х)²-х²=(√3)²
4х²-х²=3
3х²=3
х²=3/3
х²=1
х=1
Итак: ВС=1, тогда АС=1×2=2
ОТВЕТ: АС=2
ЗАДАНИЕ 8
Рассмотрим ∆САВ и ∆АВД. У них:
ВС=ВД, АВ- общая сторона, угол В общий. Эти треугольники равны по первому признаку: по двум сторонам и углу между ними, поэтому АС=АД. Также углы прилегающие к этим сторонам равны и угол Д= углу С=60° . Если в треугольнике два угла по 60°, то третий тоже будет 60° (180-60-60=60). Следовательно ∆САД равносторонний и АС=АД=8. Так как АВ лежит напротив угла 30°, то она будет равна половине гипотенузы: АВ=АС÷2=8÷2=4
ОТВЕТ: АВ=4
ЗАДАНИЕ 9
∆СВД - прямоугольный равнобедренный, где ВС и ВД -катеты, а СД - гипотенуза. В таком треугольнике катеты меньше гипотенузы в √2, поэтому:
СВ=ДВ=3√2÷√2=3
Катет ВД также является катетом ∆АДВ. Найдём АД по теореме Пифагора:
АД²=АВ²+ВД²=4²+3²=25; АД=√25=5
ОТВЕТ: АД=5
ЗАДАНИЕ 10
Так как угол А=90°, по условиям, то угол АВД=90°. ∆АВД - прямоугольный равнобедренный, поскольку СВ=ДВ по условиям (СВ и ДВ- катеты). Поэтому СВ=ДВ=10√2÷√2=10
ОТВЕТ: ВД=10
ЗАДАНИЕ 11
Рассмотрим ∆СВД. Он равнобедренный поскольку АС=АД, то СВ=ДВ. Проведём высоту ВН в ∆СВД. Поскольку этот треугольник равнобедренный то ВН, является ещё медианой и биссектрисой которая делит угол В пополам:
угол В/2=120/2=60°, медиана делит СД пополам, поэтому СН=ДН=4√3/2=2√3. Высота делит СД на 2 равных прямоугольных треугольника, в которых угол СВН= углу ДВН=60°, поэтому угол ВСД=углу ВДС=30°. Рассмотрим полученный ∆ДВН. В нём ВН и ДН -катеты, а ВД - гипотенуза. Катет ВН лежит напротив угла 30° поэтому равен половине гипотенузы ВД. Пусть ВН=х, тогда ВД=2х. Составим уравнение используя теорему Пифагора:
ВД²-ВН²=ДН²
(2х)²-х²=(2√3)²
4х²-х²=4×3
3х²=12
х²=12/3
х²=4
х=√4
х=2
Итак: ВН=4, тогда ДВ=2×2=4.
Рассмотрим ∆АДВ. В нём катетами являются АВ и ДВ, а АД - гипотенуза. Угол АДВ=60°, значит угол ДАВ=30°. Катет лежащий напротив него равен половине гипотенузы. Напротив этого угла лежит катет ВД, поэтому АД=4×2=8
ОТВЕТ: АД=8
Рассмотрим прямоугольный △ABC:
Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.
⇒ ∠А = 90° - 45° = 45°.
Т.к. ∠А = ∠В = 45°, то △ABC - равнобедренный.
Т.к. CD Ʇ AB ⇒ CD - высота, проведённая к основанию равнобедренного тр-ка.
Высота, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, является и медианой, и высотой.
⇒ высота CD - медиана равнобедренного △ABC.
Медиана, проведённая из прямого угла прямоугольного треугольника к гипотенузе, равна половине гипотенузы.
⇒ медиана CD в 2 раза меньше AB, т.е. AB = 14 (см).
ответ: АВ = 14 (см).Задача #2.Рассмотрим прямоугольный △PKF:
∠1 + ∠KPC = 180˚, т.к. они смежные ⇒ ∠KPC = 180˚ - 150˚ = 30˚.
Катет, лежащий напротив угла в 30°, равен половине гипотенузы.
⇒ катет KE в 2 раза меньше РЕ, т.е. РЕ = 20 (см).
Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.
⇒ ∠PKC = 90˚ - 30˚ = 60˚.
Т.к. ∠PKC = 60˚, а ∠PKE = 90˚ ⇒ ∠CKE = 90˚ - 60˚ = 30˚.
Катет, лежащий напротив угла в 30°, равен половине гипотенузы.
⇒ катет CE в 2 раза меньше KE, т.е. CE = 5 (см).
Т.к. PE = 20 (см), а СЕ = 5 (см), то СР = 20 - 5 = 15 (см).
ответ: CE = 5 (см); CP = 15 (см).Задача #3.Пусть отрезок, делящий △ABC на два других будет называться BD.
1. Рассмотрим прямоугольный △DBC:
Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.
⇒ ∠DBC = 90˚ - 65˚ = 25˚.
2. Рассмотрим прямоугольный △ABC:
Т.к. на рисунке ∠ABD = ∠DBC, то BD - биссектриса ∠ABC ⇒ ∠ABC = 50˚.
Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.
⇒ ∠CAB = 90˚ - 50˚ = 30˚.
ответ: ∠CAB = 30˚.
