Лена готовит подарочную упаковку в форме наклонной восьмиугольной призмы. Чтобы рассчитать количество краски для покрытия боковой поверхности, нужно найти её площадь. Известно, что расстояния между соседними боковыми рёбрами (принадлежащими одной боковой грани) равны соответственно 4 см, 5 см, 7 см, 3 см, 6 см, 4 см, 6 см и 5 см, а длина бокового ребра 5 см. Чему равна площадь под покраску?

Здесь следует рассмотреть сечение шара плоскостью, которая делит и шар,и конус таким образом, что все мы наблюдаем как бы в срезе. Смотри рисунок. Используем расширенную теорему синусов, чтобы узнать радиус описанной окружности вокруг треугольника АВС. Заметим, что этот треугольник равнобедренный.  АВравно ВС как образующие конуса. Найдем АВ по теореме Пифагора

AB=6 см.

Найдем противолежащий угол ВСА. Он равен углу ВАС.

 

По теореме синусов нам нужен синус этого угла.

 По теореме синусов

2R=12

 

R=6 - радиус описанной окружности вокруг треугольника АВС, и радиус шара описанного вокруг конуса одновременно.

 

Объем шара находится по стандартной формуле

 

 

В прямоугольном треугольнике гипотенуза BC равна 20, катет AB равен 16. Найдите квадрат расстояния от вершины A до биссектрисы угла C.

Расстояние от точки до прямой измеряется перпендикуляром, проведенным от этой точки до прямой.
Сделаем рисунок. 
Пусть биссектриса угла С будет СК.
Биссектриса треугольника (любого) делит противоположную сторону в 
отношении длин прилежащих сторон.
⇒ АК:КВ=АС:ВС=12:20=3/5
⇒АК=АВ:(3+5)*3
АК=6
Рассмотрим ⊿КАС
КС - гипотенуза 
КС=√(АК²+АС²)=√180=6√5
АН можно найти из ⊿АНК.
Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное
 между гипотенузой и отрезком гипотенузы, заключенным между катетом высотой
АК²=КН*КС
36=КН*6√5
КН=36:6√5=6:√5
АН²=АК²-КН²
АН²=36-(36:5)=144/5=28,8
ответ: квадрат расстояния от вершины A до биссектрисы угла C равен 28,8