В равнобедренном треугольнике АВС с вершиной в точке В прямая, параллельная биссектрисе угла В пересекает сторону АС в точке D, а сторону ВС в точке М. Угол CDM больше угла С на 30 градусов. Доказать , что треугольник АВС равносторонний.

A
B
C
K
H
a
Решение :

Пусть ABC – заданный равнобедренный треугольник. АВ=16 см – его основание, которое лежит на плоскости a . СН=6 см – расстояние от вершины С до плоскости a. Проекции боковых сторон треугольника АС и ВС, отрезки АН и ВН соответственно, образуют угол 90°.
Так как АСВ – равнобедренный, то и АНВ – тоже равнобедренный, АН=ВН. Кроме того, в нём АНВ=90° по условию.
Строим СК – искомую высоту АСВ. Она одновременно является его медианой, значит АК=ВК=0,5*АВ=0,5*16=8 см. Проекция СК на плоскость a - НК является медианой равнобедренного АНВ, а следовательно одновременно его высотой и биссектрисой. Тогда, АНК=ВНК=0,5*90=45°. В АНК: АНК=45°, НКА=90° следовательно, КАН=45°. Таким образом, АНК – равнобедренный, в нём НК=АК=8 см.
Рассмотрим прямоугольный СНК (СНК=90° - по условию). Из него имеем: СК2=СН2+НК2=62+82=100, откуда СК=10 см.

ответ: Высота заданного треугольника СК=10 см.

Около любой правильной пирамиды можно описать шар.Поскольку вершины пирамиды  лежат на поверхности шара, его центр — точка пересечения прямой, содержащей  высоту пирамиды, и серединного перпендикуляра к боковому ребру.
Разберемся с пирамидой.
Пирамида правильная, поэтому в основании лежит правильный треугольник. Радиус описанной около правильного треугольника АВС окружности 
r=АО1=(√3/3)*а, где "а" - сторона треугольника.
В нашем случае О1А=(√3/3)*12√3=12.
SO1 - высота пирамиды, которую найдем по Пифагору из треугольника SO1A:  SO1=√(SA²-AO1²) или SO1=√(208-144)=8.
Мы видим, что высота пирамиды меньше радиуса описанной около основания  окружности. Это значит, что центр описанного около пирамиды шара будет  лежать ВНЕ пирамиды.
Опишем вокруг пирамиды шар.
Рассмотрим треугольник SOА. Он равнобедренный, так как SO=AO=R (как радиусы  шара). Следовательно, OР — его высота, медиана и биссектриса.
Прямоугольные треугольники SРO и SO1А подобны по острому углу S. Из подобия  имеем: SO/SA=SP/SO1.
SA=4√13 (дано), SP=SA/2=2√13 (так как ОР - медиана), SO=R - радиус шара, SO1=8 - высота пирамиды, которую мы нашли ранее. Тогда:
R/4√13=2√13/8, отсюда R=13.
Площадь поверхности шара Sш=4πR² или Sш=676π ед².