Вариант I
1.В треугольнике ABC <C = 90°, <B = 60°, BD 1
биссектриса. CD = 18 см. Найдите AD,
2. в прямоугольном треугольнике DCE с б
прямым углом С проведена биссектриса EF, E
причем FC
13 см. Найдите расстояние от д
точки F до прямой DЕ.
2
3. В
прямоугольном треугольнике
вершины угла, равного 60°, проведена Г
г
биссектриса. Расстояние
основания -
биссектрисы до вершины другого острого з
угла равно 14 см. Найдите расстояние от 1
основания биссектрисы до вершины прямого т
угла.
4". В треугольнике ABC <A = 90°, <B = 60°.
На стороне AC отмечена точка D так, что т
<DBC 30°, DA = 4 см. Найдите AC и
расстояние от точки D до стороны ВС.
ОТ
E​

Сформулируйте и докажите признак равенства равнобедренных треугольников по основанию и углу при основанииТеорема. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.  Доказательство.Обратимся к рисунку, на котором АВС — равнобедренный треугольник с основанием ВС, АD — его биссектриса.Из равенства треугольников АВD и АСD (по 2 признаку равенства треугольников:AD-общая;углы 1 и 2 равны т.к. AD-биссектриса;AB=AC,т.к. треугольник равнобедренный) следует, что ВD = DC и 3 = 4. Равенство ВD = DC означает, что точка D — середина стороны ВС и поэтому АD — медиана треугольника АВС. Так как углы 3 и 4 смежные и равны друг другу, то они прямые. Следовательно, отрезок АО является также высотой треугольника АВС. Теорема доказана.   В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.   В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой     Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.  Если в треугольнике медиана является и высотой, то такой треугольник равнобедренный.   

Теорема. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.  Доказательство.Обратимся к рисунку, на котором АВС — равнобедренный треугольник с основанием ВС, АD — его биссектриса.Из равенства треугольников АВD и АСD (по 2 признаку равенства треугольников:AD-общая;углы 1 и 2 равны т.к. AD-биссектриса;AB=AC,т.к. треугольник равнобедренный) следует, что ВD = DC и 3 = 4. Равенство ВD = DC означает, что точка D — середина стороны ВС и поэтому АD — медиана треугольника АВС. Так как углы 3 и 4 смежные и равны друг другу, то они прямые. Следовательно, отрезок АО является также высотой треугольника АВС. Теорема доказана.