Точка дотику вписаного кола у рівнобедрений трикутник ділить бічну сторону у відношенні 4:7, рахуючи від вершини рівнобедреного трикутника. Знайти строни трикутника, якщо його периметр 72 см

Уравнение бісектрисі першої координатної чверті у = х.
На этой прямой могут быть 2 точки, равноудалённые от точки (5;3) - обозначим её О.
Для нахождения координат таких точек решим систему уравнений прямой у = х и окружности с центром в точке (5;3) радиусом √10.
у = х
(х-5)²+(у-3)² = 10   заменим у на х
(х-5)²+(х-3)² = 10
х²-10х+25+х²-6х+9 = 10   приводим подобные:
2х²-16х+24 = 0   сократим на 2:
х²-8х+12 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно x: Ищем дискриминант:
D=(-8)^2-4*1*12=64-4*12=64-48=16;Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
x₁=(√16-(-8))/(2*1)=(4-(-8))/2=(4+8)/2=12/2=6;x₂=(-√16-(-8))/(2*1)=(-4-(-8))/2=(-4+8)/2=4/2=2.

Получили 2 точки на оси Ох, такие же координаты и на оси Оу, поэтому задача имеет 2 решения:

(х-6)²+(у-6)² = 10,
(х-2)²+(у-2)² = 10.

1. Верно ли утверждение: "Четырехугольник является правильным, если все его углы равны между собой"?

б) нет, так как должны быть равны и стороны, иначе это может быть прямоугольник.

2. Все стороны многоугольника являются хордами окружности. Можно ли утверждать, что многоугольник описан около окружности?

б) нет, этот многоугольник вписан в окружность.

3. Чему равна дуга окружности (в градусах), стягиваемая стороной правильного треугольника?

б) 120° (360° : 3) .

4. Сколько сторон имеет правильный многоугольник, у которого сумма всех его углов равна 540°?

Сумма углов многоугольника равна 180°(n - 2), где n - количество сторон.

180°(n - 2) = 540°

n - 2 = 3

n = 5

а) 5.

5. Чему равна длина окружности, если ее диаметр равен 50 см?

С = πd = 50π см

а) 50π см.

6. Из круга, радиус которого равен 20 см, вырезан сектор. Дуга сектора равна 90°. Чему равна площадь оставшейся части круга?

Дуга оставшейся части круга:

α = 360° - 90° = 270°

Sсект = πR² · α / 360°

Sсект = π · 400 · 270° / 360° = 300π см²

а) 300π см²