AB- діаметр кола з центром у точці 0.BL -хорда. Знайдіть кут OBL якщо кутAOL=78°

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключенные между этими сторонами равны, то треугольники подобны.

Дано: ∠А = ∠А₁; АВ : А₁В₁  =  АС : А₁С₁ .
Доказать: ΔАВС подобен ΔА₁В₁С₁.
Доказательство:
Достроим на стороне АС треугольник АВ₂С, в котором углы, прилежащие к стороне АС, равны углам в треугольнике А₁В₁С₁ (как на рисунке) .
Тогда ΔАВ₂С подобен ΔА₁В₁С₁ по двум углам. Запишем отношение сторон в этих треугольниках:
АВ₂ : А₁В₁ = АС : А₁С₁.
Сравним полученную пропорцию с данной в условии:
АВ : А₁В₁  =  АС : А₁С₁
Значит, АВ₂ = АВ.
Но тогда ΔАВС = ΔАВ₂С по двум сторона и углу между ними (АС - общая, АВ₂ = АВ и ∠А = ∠А₁ = ∠1 по условию).
Итак, ΔАВС = ΔАВ₂С, а ΔАВ₂С подобен ΔА₁В₁С₁, значит
ΔАВС подобен ΔА₁В₁С₁.
Доказано.

Если два треугольника имеют равный угол, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих этот угол.

Дано: ΔАВС, ΔА₁В₁С₁, ∠А = ∠А₁.

Доказать: Sabc /Sa₁b₁c₁ = (AB · AC) /  (A₁B₁ · A₁C₁) .

Доказательство:

Наложим треугольники так, чтобы угол А совместился с углом А₁, а стороны А₁В₁ и А₁С₁ лежали на лучах АВ и АС соответственно.

Проведем ВН - высоту ΔАВС. ВН является так же и высотой треугольника А₁ВС₁.

Площади треугольников, имеющих общую высоту, относятся как их основания (стороны, к которым проведена высота):

Sabc / Sa₁bc₁ = AC / A₁C₁          (1)

Проведем С₁Н₁ - высоту ΔА₁В₁С₁. С₁Н₁ является так же и высотой треугольника АВС₁, значит

Sabc₁ / Sa₁b₁c₁  = AB / A₁B₁        (2)

Перемножим равенства (1) и (2):

(Sabc / Sa₁bc₁) · (Sabc₁ / Sa₁b₁c₁) = (AC / A₁C₁) · (AB / A₁B₁)

Так как Sa₁bc₁ и Sabc₁  это площадь одного и того же треугольника, она сокращается и получаем:

Sabc / Sa₁b₁c₁ = (AB · AC) /  (A₁B₁ · A₁C₁)