Більша бічна сторона прямокутної трапеції дорівнює 32см , а гострий кут 30° . Знайти площу трапеції, якщо в неї можна вписати ​

Значит, сторона равностороннего треугольника равна 12√3:3=4√3.
Тогда площадь треугольника равна S=1/2*a²*sin60°= 1/2*(4√3)²*√3/2=12√3
r=2S/P=2*12√3/12√3=2( см).Это классическое решение, тангенс привязать непросто.

С тангенсом попробуем решить задачу так.
Поскольку треугольник равносторонний, всего его углы равны 60°.
Центр вписанной окружности - точка пересечения биссектрис.В равностороннем треугольнике биссектрисы являются одновременно высотами и медианами, поэтому центр окружности - точка пересечения медиан.
Радиус вписанной окружности равен 1/3 медианы.
Найдем медиану. Она равна  2√3*tg 60°=2√3*√3=6 (из треугольника, у которого катеты - медиана и половина стороны, на которую она опущена).
Тогда радиус вписанной окружности равен 6:3=2 (см).

1)  BC =√(15² +20²) =25      ΔCBH (15 ;20 ;25)
AB=√(15² +8²) =17;        ΔABH  (8;15;17)
 
R =a*b*c/4S ;
r =S/p , где  p полупериметр .
AC=AH +CH =8 +20 =28;
S =(1/2)*AC * BH =14*15 =210 (см²)
R =a*b*c/4S =25*28*17/4*210  = 85/6;
r =S/p  ;
p =(17+25+28)/2 =35
r =210/35;
 r  =6 .

Примечание :
(15 ;20 ;25)= (5*3; 5*4 ;5*5)  ; (8;15;17)  Пифагорова треугольники
прямоугольные треугольники с сторонами выраж натуральными числами

2) h=32; r=12

R --?  
R =a*b*c/4S =ab²/4S.
S =pr
ah/2 =r*(a +2b)/2 ;
a*32 =12(a+2b)    (a - , b ).
8a =3(a+2b);
b=5a/6 ;

b² - (a/2)²=12²;
(5a/6)² -(a/2)² =12²  ⇒a=18 ;
 b=5a/6 =5*18/6 =15.

S=ah/2 =18*32/2 =288
R =a*b*b/4S =18*15*15/4*288    ;
R=225/64.