Около правильного треугольника описана окружность радиуса R. докажите что R = 2r, где r - радиус окружности, вписанной в этот треугольник.
=============================================================
В правильном треугольнике высоты, медианы и биссектрисы совпадают: АМ = BE = CD. Соответственно, совпадают и центры описанной и вписанной окружности. Центром описанной окружности является точка пересечения серединных перепендикуляров, то есть высоты данного треугольника ⇒ АО = ВО = СО = R . Центром вписанной окружности является точка пересечения биссектрис, то есть биссектрисы данного треугольника ⇒ OE = OM = OD = r.Так как AM = BE = CD - медианы ΔАВС ⇒Медианы треугольника пересекаются и точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.Значит, СО:ОD = 2:1 ⇒ R:r = 2:1 ⇒ R = 2r, что и требовалось доказать.
если треугольник равнобедренный, то углы при основании равны. по теореме о сумме углов треугольника находим, что углы при основании равны 30 градусов.
строим высоту из вершины. т.к. треугольник равнобедренный , то высота также будет биссектрисой и медианой. предположим что вершина В. высота= ВН. левый угол при основании назовём А. высота разделила вершину на углы 60 градусов как биссектриса. получился треугольник АВН. А=30; ВНА=90, АВН=60. напротив угла в 30 градусов, лежит сторона в два раза меньшая, чем та, что напротив угла 90. Значит, высота ВН=2. по теореме пифагора АН=2 корня из 3. основание = 2*АН=4 корня из 3
так же можно найти по теореме косинусов. если назвать изначальный треугольник АВС (АС - сонование), то
АС*АС=АВ*АВ+ВС*ВС-2*АВ*ВС*косинус угла В
АВ=ВС=4 ( тругольник ведь равнобедренный)
АС*АС=16+16-32косинус120=32-32*(-1:2)=32+16=48
АС=4 корня из 3
:)
