45°
Объяснение:
152. Дано: ABCDA₁B₁C₁D₁ - прямоугольный параллелепипед;
AB = 5; AD = 4; AA₁ = 3
Найти: ∠ABD₁.
Прямоугольный параллелепипед — это параллелепипед, у которого все грани прямоугольники.1. Рассмотрим ΔAA₁D₁ - прямоугольный.
Противоположные сторона прямоугольника равны.⇒ AD = A₁D₁
По теореме Пифагора:
2. Рассмотрим ΔABD₁.
AB ⊥ AD
Теорема о трех перпендикулярах: прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной.⇒ ΔABD₁ = прямоугольный.
AB = BD₁= 5
⇒ ΔABD₁ - равнобедренный.
Углы при основании равнобедренного треугольника равны.⇒ ∠BD₁A = ∠ABD₁
Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.⇒ ∠BD₁A = ∠ABD₁ = 90°:2 = 45°
153. Дано: ABCDA₁B₁C₁D₁ - прямоугольный параллелепипед;
АВ = 4; AD = 3; AA₁ = 5.
Найти: ∠DBD₁
Рассмотрим ΔADB - прямоугольный.
По теореме Пифагора:
Рассмотрим ΔDD₁B - прямоугольный.
AA₁ = DD₁ = 5 (противоположные стороны прямоугольника AA₁D₁D)
BD = DD₁=5
⇒ ΔDD₁B - равнобедренный.
Углы при основании равнобедренного треугольника равны.⇒ ∠DBD₁ = ∠DD₁B
Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.⇒ ∠DBD₁ = ∠DD₁B = 90° :2 = 45°
Найдем координату точки F. F- точка , которая делит пополам сторону АВ ( так как CF - медиана).
F = ( (Xa+Xb)/2 ; (Ya+Yb)/2) = ((-1+3)/2 ; (4+2)/2)= (1;3).
Вектор CF = (1-1; 3-(-3)) = (0; 6).
Уравнение медианы CF: (x - 1)/0 = (y - 4)/6.
Получаем общее уравнение CF: 6x - 6 = 0 или х - 1 = 0.
Находим уравнение стороны АС.
Вектор АС = (1-(-1); -3-4) = (2; -7).
Уравнение АС: (x + 1)/2 = (y - 4)/(-7) или в общем виде 7x + 2y - 1 = 0.
Находим угол α между прямыми АС и CF.
cos α = (1*7 + 0*2)/(1*√53) = 7√53/53.
Угол α = 15,9454°.
