Используя данные на чертеже, рассчитайте длину x сегмента.

Если продлить секущие до пересечения, то получится треугольник, очевидно подобный исходному (уж точно с равными углами). Далее, у этих треугольников общая вписанная окружность, и точки касания параллельных сторон попарно лежат на противоположных концах диаметров (это - главный момент доказательства, я конечно, мог бы и не заострять внимание...).  Поэтому при вращении на 180° вокруг центра окружности точки касания "переходят в себя", следовательно, "переходят в себя" стороны треугольников (они перпендикулярны этим диаметрам).
То есть эти треугольники равны, и - поскольку отрезки стороны между секущими "переходят" в отрезки секущих между сторонами (тоже момент интересный - точка пересечения однозначно определяется двумя прямыми, и если две прямые переходят в две другие прямые, то точка пересечения переходит в ... понятно :)), они тоже равны. 
То есть это равенство отрезков не есть свойство только заданного треугольника, оно выполнено для произвольного треугольника.
Периметр каждого отсеченного треугольника равен сумме длин двух равных отрезков касательных из соответствующей вершины (в этом утверждении равенство касательных использовано дважды - равны отрезки касательной из вершины А и из вершин шестиугольника, ближайших к А, поэтому периметр равен .. ну, понятно).
Если обозначить отрезки касательных из вершины А за x, из B за y, из С за z, то
x + y = 5;
x + z = 7;
y + z = 6;
Откуда x = 3; (можно и остальные найти легко, y = 2; z = 4)
То есть периметр отсеченного треугольника с вершиной А равен 2*х = 6; периметр подобного ему исходного треугольника равен 5 + 6 + 7 = 18; то есть в 3 раза больше. Поэтому площадь малого треугольника равна 1/9 площади АВС.
Осталось сосчитать площадь АВС, например, по формуле Герона.
p = (5 + 6 + 7)/2 = 9; p - 5 = 4; p - 6 = 3; p - 7 = 2; 
S^2 = 9*4*3*2; S = 6√6;
Поэтому площадь малого треугольника 2√6/3;

ответ: угол L=76°; угол С= углу К=52°

Объяснение: Биссектриса СМ делит ∆KLC на два других треугольника. Рассмотрим полученный треугольники СМК и LMC. По условиям угол CML=78°, тогда, угол СМК в ∆СКМ=180-78=102°;

Угол СМК=102°

Зная, что ∆KLC- равнобедренный, то угол К=углу С. Так как биссектриса СМ делит угол С пополам, угол КСМ в ∆СКМ буде в 2 раза меньше угла К. Пусть угол КСМ=х, тогда угол К=2х. Так сумма всех углов треугольника равна 180°, Составляем уравнение:

х+2х+102=180

3х+102=180

3х=180-102

3х=78

х=26

Часть угла, полученного при делении биссектрисой=26°

Найдём угол К: угол К=26×2=52;

угол К=52°; теперь найдём угол L:

180-52×2= 180-104=76; угол L=76°