Дан треугольник ABC, в котором ∠C=90°, а sinB=2√2/10√10. Найди cos2B.

Для решения этой задачи, нам понадобится использовать тригонометрическую формулу для cos2B, которая гласит:

cos2B = cos^2B - sin^2B

Дано: ∠C=90° и sinB=2√2/10√10

1. Нам нужно найти cosB, чтобы использовать его для нахождения cos^2B.
Обратимся к формуле синуса для треугольника ABC:

sinB/BC = sinC/AB

Поскольку ∠C=90°, то sinC = 1. Подставив известные значения, получим:

2√2/10√10/BC = 1/AB

Упростим это выражение:

2√2/10√10 * AB = BC

Умножим оба числителя и знаменателя на 10√10, чтобы избавиться от знаменателей:

(2√2 * 10√10)/(10√10 * 10√10) * AB = BC

Упрощаем:

20√2/100 * AB = BC

√2/5 * AB = BC

2. Используем разложение треугольника ABC в прямоугольном треугольнике.
Из синуса и косинуса знаем, что:

sinB = противолежащий катет / гипотенуза
cosB = прилежащий катет / гипотенуза

Подставив √2/5 * AB = BC, получим:

sinB = √2/5 * AB / AC

Используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника ABC (где ∠C=90°), получим:

AC^2 = AB^2 + BC^2

AC^2 = AB^2 + (√2/5 * AB)^2

AC^2 = AB^2 + (2/5)AB^2

AC^2 = AB^2(1 + 2/5)

AC^2 = AB^2(5/5 + 2/5)

AC^2 = AB^2(7/5)

AC = √(AB^2*(7/5))

AC = AB√(7/5)

3. Теперь, чтобы найти cos^2B, нужно найти cosB. Для этого, разделим прилежащий катет (AB) на гипотенузу (AC):

cosB = AB / AC

Подставим AC = AB√(7/5):

cosB = AB / (AB√(7/5))

Упростим:

cosB = 1 / √(7/5)

Применим рационализацию знаменателя (умножим на √(5/5)):

cosB = √(5/5) / √(7/5) * 1 / √(5/5)

cosB= √5 / √(5*7) * √5 / √5

Упрощаем:

cosB = √5 / √35

4. Теперь, чтобы найти cos2B, используем тригонометрическую формулу:

cos2B = cos^2B - sin^2B

Подставим значения cosB = √5 / √35 и sinB = 2√2 / 10√10:

cos2B = (√5 / √35)^2 - (2√2 / 10√10)^2

Упростим:

cos2B = (5 / 35) - (8 / 100)

cos2B = 5/35 - 8/100

Разделим числители и знаменатели на их наибольший общий делитель (5):

cos2B = 1/7 - 8/20

cos2B = 1/7 - 2/5

Найдем общий знаменатель:

cos2B = (1*5)/(7*5) - (2*7)/(5*7)

cos2B = 5/35 - 14/35

Вычитаем дроби:

cos2B = (5 - 14)/35

cos2B = -9/35

Таким образом, cos2B = -9/35.