Действительно, радиус вписанной в ромб окружности - это высота в прямоугольном треугольнике, образованном половинками диагоналей и боковой стороной. Центр окружности лежит в точке пересечения диагоналей, и радиус перпендикулярен боковой стороне (как к касательной).
Остается найти высоту к гипотенузе в прямоугольном треугольнике, в котором известны
1. катеты 3 и 4, то есть гипотенуза 5 (опять 3,4,5 :)) - египетский треугольник), а высота 3*4/5 (удвоенная площадь, делить на гипотенузу) = 12/5; r = 2,4;
2. гипотенуза a и угол alfa/2 (ясно, что диагональ в ромбе делит угол пополам);
Тем же удвоенная площадь, делить на гипотенузу)
r = a*cos(alfa/2)*a*sin(alfa/2)/a = (a/2)*sin(alfa);
Отмечу, что можно все получить "как-бы проще" :)) площадь РОМБА
a^2*sin(alfa), а периметр 4*a, отсюда r = 2*S/P = (a/2)*sin(alfa);
Но можно ЕЩЕ проще. ВЫСОТА РОМБА равна a*sin(alfa), а диаметр окружности, касающейся 2 параллельных прямых, равен расстоянию между ними. То есть мы УЖЕ всё нашли, r = a*sin(alfa)/2;
1. Если мы составим грамотный чертеж, и учитывая, что расстояние от М до стороны ВС - это высота, проведенная их М к ВС (по определению расстояния от точки до отрезка), обозначим точку на ВС точкой К, причем из опр-я высоты МК перпендикулярна ВС.
На рисунке четко видно, что тр-ки АВС и МВК - подобны, т.к. у них общий угол В, а углы АСВ и МКВ - прямые следовательно при равенстве углов, треугольники подобны, а соотношения их соответственных сторон одинаковы
АВ = АМ+МВ = 15+10=25 см = гипотенуза тр-ка АВС
МВ = 10 см - гипотенуза тр-ка МВК
По закону подобия тр-ков соотношения их катетов АС и МК такое же, как и соотношение гипотенуз, значит
АС : МК = АВ : МВ
ас : 8 = 25 : 10
АС :8 = 2.5
АС = 2.5*8 = 20 см - искомая сторона АС
Удачи!
