1) Поскольку этот четырехугольник вписанный, сумма его противоположных углов равна 180°
Угол D, противолежащий углу В=80, равен 100; угол С, противолежащий углу А=60, равен 120°
------------------
2)Вокруг трапеции можно описать окружность тогда и только тогда, когда ее боковые стороны равны.
Если основание и боковые стороны трапеции равны, то один из треугольников, на которые диагонали делят трапецию, равнобедренный, основанием в нём является диагональ.
Треугольник ВСD равнобедренный, углы ВDС=СВD.
Угол ВСD=180-60=120°
Отсюда угол ВDС= СDВ= (180-60):2=30°.
Углы АВD и АСD равны 120-30=90°
Следовательно, треугольники АВD и ACD - прямоугольные.
Центр описанной вокруг прямоугольного треугольника окружности лежит на середине его гипотенузы.
Уравнение окружности с центром в точке (х0;у0) радиуса r имеет вид
(х-х0)^2+(у-у0)^2=r^2.
По условию задачи центр окружности находится на оси Ох, а значит (х0;у0)=(х0;0) и уравнение окружности примет вид
(х-х0)^2+у^2=r^2.
Найдем х0 и r.
По условию окружность проходит через точки (6;0) и (0;10), а значит координаты этих точек удовлетворяют уравнению окружности, т.е.
{(6-х0)^2=r^2; (x0)^2+100=r^2}
Правые части последних выражений равны, а значит равны и левые части:
(6-х0)^2=(х0)^2+100
36-12х0+(х0)^2-(х0)^2=100
-12х0=64
х0=-64/12=-16/3.
Найдем r^2:
(-16/3)^2+100=r^2
(256/9)+100=r^2
1156/9=r^2
r^2=(34/3)^2.
Подставляя, найденные значения х0 и r в уравнение окружности, получим искомое уравнение окружности:
(х+(16/3))^2+у^2=(34/3)^2
