Відповідь:
Четырехугольник А1В1С1Д1 - прямоугольник.
П = 15 см.
S = 12,5 см^2.
Пояснення:
В произвольном четырехугольнике АВСД диагонали АС и ВД пересекаются под прямыми углами. АС = 10 см., а ВД = 5 см. Соединим середины сторон четырехугольника АВСД и получим четырехугольник А1В1С1Д1. Докажем, что четырехугольник А1В1С1Д1 - является прямоугольником.
Рассмотрим треугольник АВС. Отрезок А1В1 - является средней линией этого треугольника, так как расстояние от диагонали АС до точек А1 и С1 равно половине расстояния от диагонали АС до точки В. Так как А1В1 - средняя линия треугольника АВС, то А1В1 параллельна диагонали АС и А1В1 = 1/2 × АС = 1/2 × 10 = 5 см.
Аналогично доказывается, что С1Д1 -средняя линия треугольника АСД, что А1Д1 - средняя линия треугольника АВД, что В1С1 - средняя линия треугольника ВСД.
В1С1 = 1/2 × ВД = 1/2 × 5 = 2,5 см.
Так как А1В1 и С1Д1 параллельны диагонали АС, то они параллельны и между собой.
Так как А1Д1 и В1С1 параллельны диагонали ВД, то они параллельны и между собой.
Так как диагонали АС и ВД перпендикулярны, то порарно перпендикулярны между собой и отрезки А1В1, В1С1, С1Д1, Д1А1, значит четырехугольник А1В1С1Д1 - является прямоугольником.
Выше мы доказали, что А1В1 = С1Д1 = 5см., а В1С1 = Д1А1 = 2,5 см.
Значит периметр четырехугольника А1В1С1Д1
П = 5 + 2,5 + 5 + 2,5 = 15 см.
Площадь четырехугольника А1В1С1Д1
S = 5 × 2,5 = 12,5 см^2.
1) В ромбе ABCD точки F, P и M – середины сторон BC, CD, и AD соответственно. Найдите сумму длин диагоналей ромба, если АВ = 5 см, а периметр треугольника FPM равен 12 см.
————
Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам.
Так как точки F, P и M – середины сторон BC, CD и AD, отрезок FP — средняя линия ∆ BCD и равна половине диагонали ВD; МР - средняя линия ∆ АСD и равна половие диагонали АС.
FP║BD; MP║AC; a так как АС⊥ВD, то FP⊥МР. ⇒ ∆ MFP – прямоугольный.
Ромб - параллелограмм, все стороны ромба равны. Поэтому равны и их половины. BF=AM, ВF и АМ параллельны⇒
АВFM - параллелограмм, MF=AB=5 см.
Периметр ∆ MFP=5+FP+MP=12 (см) ⇒ FP+MP=12-5=7 (см)
Диагонали ромба вдвое больше катетов ∆ MFP, ⇒
BD+AC=2•( FP+MP)=2•7=14 (см).
—————
2) В четырехугольнике ABCD диагонали AC и BD перпендикулярны. Точки M, F, K и P – середины сторон АВ, BC, СD и DA соответственно. Докажите, что MK = FP.
Точки M, F, K и P – середины сторон четырехугольника ABCD, поэтому являются средними линиями треугольников АВС, ВСD, АСD и АВD. По свойству средней линии треугольника:
МР=FK и параллельны BD, а MF=P и параллельны АС.
АС⊥BD , ⇒ соседние стороны четырехугольника PMFK , которые им параллельны, взаимно перпендикулярны. PMFK - прямоугольник, МК и PF его диагонали. Диагонали прямоугольника равны. MK и FP – его диагонали. ⇒ MK = FP
