Задание 1. В прямоугольном треугольнике ВСА (∠А = 90°) ВС = 20, ∠АВС = 30°. С центром в точке

С проведена окружность. Каким должен быть ее радиус, чтобы:

а) окружность касалась прямой АС;

b) окружность не имела общих точек с прямой АС;

c) окружность имела две общие точки с прямой АС?

d) найдите диметр окружности.​

Дано:

∆АМВ и ∆СМВ - прямоугольные.

ВМ - медиана (СМ = АМ)

МС - 3 см

∠А = ∠С

∠АВМ = 30°

Доказать:

∆АВМ = ∆СВМ.

Решение.

Т.к. ∠С = ∠А => ∆АВС - равнобедренный.

=> ВМ - является и медианой, и высотой, и биссектрисой.

=> ∠АВМ = ∠СВМ = 30° (так как ВМ является биссектрисой)

ЕСЛИ УГОЛ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА РАВНЯЕТСЯ 30°, ТО НАПРОТИВ ЛЕЖАЩИЙ КАТЕТ РАВЕН ПОЛОВИНЕ ГИПОТЕНУЗЫ.

МС = МА, по условию.(и так как ВМ - медиана)

=> АВ = ВС = 3 × 2 = 6 см.

Рассмотрим ∆АВМ и ∆СВМ:

АВ = ВС

∠АВМ = ∠СВМ

=> ∆АВМ = ∆СВМ, по гипотенузе и острому углу.

Ч.Т.Д.

Средняя линия треугольника - это отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.
Средняя линия треугольника параллельна его третьей стороне и равна ее половине.

5.
1) КН║АС, КН = АС/2 как средняя линия треугольника АВС,
МР║АС, МР = АС/2 как средняя линия треугольника ADC, значит
КН║МР и КН = МР, а если противоположные стороны четырехугольника параллельны и равны, то это параллелограмм.
КНРМ - параллелограмм.
2) Аналогично доказываем, что КНРМ параллелограмм и добавим, что
НР = KM = BD/2 (как средние линии соответствующих треугольников)
КН = МР = АС/2.
В прямоугольнике диагонали равны, значит стороны параллелограмма КНРМ равны, и следовательно это ромб.
3) Все то же и
КН║МР║АС, КМ║НР║BD.
Диагонали ромба перпендикулярны, значит и смежные стороны параллелограмма КНРМ перпендикулярны, и следовательно, это прямоугольник.
4) Так как квадрат - это прямоугольник с равными сторонами, то из задач 2) и 3) следует, что КНРМ - ромб с перпендикулярными смежными сторонами, то есть квадрат.

6. По свойству средней линии треугольника:
КН = АС/2 = 15/2 = 7,5 см
НР = АВ/2 = 10/2 = 5 см
КР = ВС/2 = 12/2 = 6 см