1)
Δ АСВ – прямоугольный.
По теореме Пифагора
АВ2=AC2+BC2=225+400=625
AB=25
Проводим высоту СН прямоугольного Δ АСВ
СH– проекция MH
CН⊥АВ, по теореме о трех перпендикуярах MH ⊥АВ
Расстояние от вершины M до АВ и есть МН,
Из формула площади прямоугольного треугольника АСВ
S=1/2·АС·ВС
и
S=(1/2)·АВ·СН
СН=АС·ВС/АВ=20·15/25=12
Из прямоугольного треугольника МСН прямоугольный
МН=СН/сos 60 °=12/0,5=24
О т в е т. Расстояние от вершины пирамиды до прямой АВ равно 24 см.
2)
Из прямоугольного треугольника МСН прямоугольный
МC2=MH2–CH2=242–122=432
MC=12√3
S=S Δ MBC+S Δ MAB+S Δ MAD+S Δ MDC+S(ABCD)
S Δ MBC=(1/2)BC·CD=(1/2)·20·12√3=
S Δ MAB=(1/2)AB·CH=(1/2)·25·12=150
CK⊥АD
CK=AB·CH/AD=25·12/20=15
S Δ MAD= (1/2)AD·CK=(1/2)20·15=150
S Δ MDC=(1/2)CD·MC=(1/2)·25·12√3=
S(ABCD)=2S Δ ABC=2·(1/2)BC·AC=20·15=300
В правильном тетраэдре ABCD точка M - середина BС. Найдите угол между прямыми AM и BD.
Прямая BD пересекает плоскость (ABC) в точке, не лежащей на прямой AM - прямые AM и BD скрещиваются.
Угол между скрещивающимися прямыми - угол между параллельными им пересекающимися прямыми.
Проведем MN||BD
∠AMN - искомый угол.
Правильный тетраэдр, все грани - правильные треугольники.
Пусть все ребра равны а
N - середина CD (т Фалеса)
MN=a/2 (средняя линия)
AM=AN =a√3/2 (медианы в равностороннем треугольнике)
△MAN - равнобедренный
cos(AMN) =MN/2AM =2a/4a√3 =√3/6
∠AMN =arccos(√3/6)
