1 вариант 1. Найдите координаты середины отрезка АВ, если А(8, -9) и В(-6, 7) и длину отрезка.
2. Пусть А(4, -5) и В(-3, 8). Найдите координаты точки, которая делит отрезок АВ в отношении .
3. Проверьте, треугольник с вершинами в точках А(-2, 0), В(0, 4) и С(2, 0) является ли равнобедренным.
4. Докажите, что треугольник с координатами в точках А(1, 0), В(1, 4), С(3, 0) является прямоугольным. Какой угол прямой?
5. Даны три вершины параллелограмма АВСD с вершинами в точках В(5,0), С(12,3), D(7,3). Найдите координаты четвертой вершины А и точку пересечения диагоналей.
6. Написать уравнение прямой проходящих через точки А(2;5) и В(1; 1).

Точки A-F-C лежат на прямой Симсона точки B относительно треугольника EGD.

Объяснение:

Основания перпендикуляров, опущенных из произвольной точки описанной окружности на стороны треугольника (или их продолжения), лежат на прямой Симсона.

Точка B лежит на описанной окружности треугольника EGD (прямые углы EBG и EDG опираются на диаметр EG).

A и С - основания перпендикуляров из точки B на стороны треугольника EGD.

Тогда AC - прямая Симсона точки B относительно треугольника EGD.

(Прямая Симсона пересекает сторону EG  в точке F, следовательно BF⊥EG)

Пусть в треугольнике АВС угол А равен а, угол с равен ь, проведены биссектрисы AD и СЕ, которые пересекаются в точке О (см. рисунок). Рассмотрим треугольник АОС. Сумма его углов равна 180 градусам, тогда угол АОС равен 180-1/2ВАC-1/2BCA= 180- AC - ECA = 180 - 1/2 (a+b). Угол, под которым пересекаются две прямые это наименьший из углов, которые получаются при их пересечении. Докажем, что угол ЕОА будет меньше угла АОС, тогда угол ЕОА - угол, под которым пересекаются биссектрисы. Действительно, угол ЕОА является смежным с углом АОС, тогда он равен 1/2(a+b). Так как а+ь<180, 1/2(a+b)<90 и 2(a + b) < 180 /2(a+b), то есть, какими бы ни были углы а и ь, угол ЕОА всегда будет меньше угла АОС. Окончательный ответ - 1/2(a+b).