Один из углов, образованных при пересечении биссектрис угла при основании и угла при вершине равнобедренного треугольника, равен 130°. Найдите углы треугольника.
Пусть данный треугольник АВС, АВ=ВС, АК и ВН - биссектрисы, О - точка их пересечения. ∠ВАК=САК=а . Тогда ВСА=2а, т.к. углы при основании равнобедренного треугольника равны, а ∠ВНК=90° ( биссектриса при вершине равнобедренного треугольника еще и медиана и высота). В ∆ОАН из суммы смежных углов ∠АОН=180°-130°=50° , а из суммы углов треугольника ∠ОАН=180*-90°-50*=40°. ∠А=∠С=2•40*=80°. Из суммы углов треугольника находим ∠В=180°-2•80°=20°. Углы ∆АВС: 80°, 20°, 80°.
Пусть диаметр большого круга МК, О – его центр, радиус=R, А и В - центры полукружий, их радиусы АО=ОВ=R/2. Центр вписанного третьего круга С, его радиус – r.
Соединим центры полукружий с центром вписанного в криволинейную фигуру круга. Как вписанный, он касается внутренним касанием окружности большего круга и внешним - полукружий. АС=ВС=(R/2 + r). Треугольник АВС - равнобедренный. AO=BO, ⇒ СО - его медиана и высота. По т.Пифагора АС²=АО²+СО² Для удобства записи примем R/2=a. Тогда АО=а, R=ОТ=2а, СО=(2а-r). Запишем (a+r)²=a²+(2a-r)². ⇒ a²+2ar+r²=a²+4a²-4ar+r². ⇒ 4а²-6ar=0. Сократив уравнение на 2а, получим 2а-3r=0, ⇒ 3r=2a=R. Радиус вписанного круга равен R/3. Все круги - подобны. Для данных k=1/3. Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента их подобия. S(R/3):S(R)=k²=(1/3)²=1/9. ответ - в 9 раз площадь меньшего круга меньше площади большего круга.
