Отмеченные на рисунке точки – середины сторон трапеции. Докажите, что площади
закрашенных фигур равны

Для доказательства равенства площадей закрашенных фигур в данной трапеции, нам понадобится использовать свойства параллелограмма.

Для начала, обозначим точки на рисунке. Пусть точки A, B, C и D - вершины трапеции, M, N, P и Q - середины соответственных сторон трапеции. Обозначим площади закрашенных фигур как S1 и S2.

Для доказательства равенства площадей S1 и S2, мы разделим каждую площадь на две равные фигуры, используя диагонали параллелограмма.

Первый шаг: Разделим площадь S1 на две равные фигуры, обозначим их как S1A и S1B. Для этого проведем диагональ AM.



Два треугольника AMB и AMC имеют общую сторону AM и одинаковую высоту, так как трапеция ABCD является параллелограммом. Поэтому площади этих треугольников равны. Обозначим эту площадь как S(AMB) = S(AMC) = S1A.

Второй шаг: Разделим площадь S2 на две равные фигуры, обозначим их как S2C и S2D. Для этого проведем диагональ CP.



Два треугольника CDP и CPQ имеют общую сторону CP и одинаковую высоту, так как трапеция ABCD является параллелограммом. Поэтому площади этих треугольников равны. Обозначим эту площадь как S(CDP) = S(CPQ) = S2C.

Теперь мы можем выразить площади закрашенных фигур S1 и S2 через площади треугольников.

S1 = S(AMB) + S(AMC) = S1A + S1A
S2 = S(CDP) + S(CPQ) = S2C + S2C

Заметим, что S1A = S2C, так как AM и CP являются серединными перпендикулярами к сторонам трапеции AB и CD соответственно.

Таким образом, мы получаем:

S1 = S1A + S1A = 2 * S1A
S2 = S2C + S2C = 2 * S2C

Так как S1A = S2C, то S1 = S2.

Таким образом, мы доказали, что площади закрашенных фигур S1 и S2 равны.