в окружности проведены диаметр АБ и хорда АС. через точку С провели касательную, которая пересекает прямую АБ в точке М. найди угол СМА, если угол САБ ​

Трапеция АВСД, АД=10, ВС=5, АС=12, ВД=9
проводим высоту СН на АД
Площадь трапеции =1/2*(АД+ВС) * СН
Из точки С проводим прямую параллельную ВД до пересечения с продолжением основания АД в точке К. Четырехугольник НВСК - параллелограмм, ВС=ДК=5, ВД=СК=9, АК=АД+ДК=10+5=15, СН - высота треугольника АСК
площадь треугольника АСК = 1/2АК*СН, но АК=АД+ДК(ВС)
т.е. площадь треугольника АСК=площадь трапеции АВСД,
площадь треугольника АСК=корень(р * (р-АС)*(р-СК)*(р-АК)), где р -полупериметр
полупериметр треугольника АСК=(12+9+15)/2=18
площадь треугольника АСК=корень(18 *6*9*3)=54 = площадь трапеции АВСД

а) Докажем, что SD ⊥ (PQR).
1. Предположим, что SD не перпендикулярна (PQR).
2. Поскольку PQ || AB, то треугольники APQ и SDB подобны.
Обоснование: Углы P и S равны (как вертикальные), угол Q равен B (как соответственные), стороны AP и SD соответственно равны PQ и BD (по условию PA = PQ и AS = 14, а SD - это медиана в треугольнике SAB).
3. Из подобия APQ и SDB следует, что соотношение сторон AP/SD = PQ/BD.
Обоснование: По свойству подобных треугольников, соответствующие стороны пропорциональны.
4. Из условия PA = PQ = 3 следует, что AP = PQ = 3.
5. Из условия AS = 14 следует, что SD = 14/2 = 7 (по свойству медианы).

Теперь мы можем сравнить отношения сторон AP/SD и PQ/BD:
AP/SD = 3/7 и PQ/BD = 3/BD.

6. Предположим, что SD не перпендикулярна (PQR), тогда BD ≠ 7.
7. Если BD ≠ 7, то это значит, что сторона PQ/BD ≠ AP/SD, что противоречит нашему предыдущему утверждению.
Обоснование: Если две пары пропорциональных сторон не равны, то треугольники не могут быть подобными.

Таким образом, наше предположение было неверным, и мы доказали, что SD ⊥ (PQR).

б) Теперь рассчитаем расстояние от точки D до плоскости (PQR).
1. Возьмем точку A за начало координат и оси OX и OY параллельны сторонам AB и BC соответственно.
2. Зададим координаты точек: A(0,0), B(14, 0), C(14, 14), D(0, 14).
3. Найдем уравнение плоскости (PQR).
Поскольку P, Q и R лежат на сторонах треугольника AB и на прямой AC, то уравнение плоскости может быть найдено как перпендикулярное уравнению прямой AC и проходящее через точку P:
Уравнение прямой AC: x - y = 0.
Подставим координаты точки P(3, 0) в уравнение прямой:
3 - 0 ≠ 0. Это противоречие. Значит, прямая AC не является основанием пирамиды.
Следовательно, D лежит на плоскости (PQR), а расстояние от точки D до этой плоскости равно 0.

Ответ: а) SD ⊥ (PQR); б) расстояние от точки D до плоскости (PQR) равно 0.