8 класс Около равнобедренного треугольника АВС с основанием АС описана окружность. Найдите углы треугольника, если дуга АС равна 108º. Приведите подробное решение

Обозначим вершины равнобедренного треугольника A,B, и C с основанием AC. По условию основание на 3 см меньше боковой стороны, значит боковая сторона на 3 см больше основания. Обозначим основание за x. Тогда боковая сторона будет равна (x+3)см. Составим и решим уравнение:x+(x+3)+(x+3)=18;x+x+3+x+3=18;3x+6=18;3x=12;x=12:3;x=4. Мы нашли основание AC, оно равно 4 см. Периметр равнобедренного треугольника равен:боковая сторона+боковая сторона+основание. Значит, сумма длин боковых сторон равна:18-основание AC=18-4=14.

Так как вписан прямоугольный треугольник CKB угол CKB — прямой, а следовательно и угол AKB тоже прямой, так как они смежные.

CB=45 и AB=60 — катеты, AC — гипотенуза

По теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

CK+KA=75

KA=CK+21

CK+(CK+21)=75

2CK=75-21

2CK=54

CK=27

KA=27+21=48

Найдем длину BK по той же теореме Пифагора:

CB²=CK²+BK²

BK²=CB²-CK²

Найдем площадь треугольника AKB по формуле S=(ab)/2, где a и b катеты

Теперь найдем площадь треугольника CKB:

Отношение площадей треугольников AKB и CKB

S(ΔAKB):S(ΔCKB) = 16:9