Варіант 2 1. ( 0, ) Яка з наведених точок належить площині Оху?

а) М(0;6;2)
б) К(3;3;-9)
в) Р(0;0;-2)
г) С(5;0;9)
д) В(4;-5;0)

2. ( 0, ) Яка з точок М є серединою відрізка АВ, якщо А(2;-2;4); В(2;-2;2)?

а) М(2;-2;3)
б) М(1;-1;0)
в) М(-1;1;1)
г) М(0;1;-1)

3. ( ) Знайти координати вектора AB , якщо А( 3;-5;4), В( -2;7;1).

а) (1;-12;-1)
б) (-5;12;-3)
в) (5;-12;-1)
г) (1;2;1)
д)(-5;2;1)

4. (За кожну відповідність 0, ) Установити відповідність між векторами ( 1-4) і співвідношеннями між ними ( А-Д).
1) (6;-9;3) і (2;-3;1) а)Вектори перпендикулярні
2) (-5;2;-7) і (6;-4;3) б)Вектори колінеарні
3(1;2;-1) і (2;-3;-4) в) Вектори мають рівні довжини
4) (2;-2;2) і (1;-3;корінь з 2 )г)Сума векторів
д)Вектори рівні

5. ( ) Дано MNKP – паралелограм. M(-4;1;5), N(-5;4;2), K( 3;-2;-1). Знайти координати вершини P.
6. ( ) При яких значеннях а (4;-6;16) і (-7;-2;a) вектори перпендикулярні?

7. ( ) Знайти на осі у точку, рівновіддалену від точок А(-3;6;4) і В(2;-6;-1).
8. ( ) Дано вектори: (5;-2;0), (1;-5;2) . Знайти довжину вектора .
9. ( ) Знайти кут між векторами i , якщо А(1;0;2), В(1; ;3), С(-1;0;3), D(-1;-1;3).

Відповідь:

Р(АВС) = 72 см

Пояснення:

Дано:

△АВС - рівнобедрений; АВ=ВС

ВК⊥АС; АВ : ВК = 5 : 3; АС = 32 см.

Знайти:

Р(АВС) - ?

Розв‘язання:

Позначивши х - коефіцієнт пропорційності, маємо:

АВ = 5х см; ВК = 3х см.

У рівеобедреному трикутнику, висота, проведена до основи, є також бісектрисою і медіаною. Звідси,

АК = КС = 32:2 = 16 см

У прямокутному трикутнику АВК за теоремою Піфагора:

АВ^2 = ВК^2 + АК^2

(5х)^2 = (3х)^2 + 16^2

25х^2 = 9х^2 + 256

25х^2 - 9x^2 = 256

16x^2 = 256

x^2 = 256:16

x^2 = 16

x = √16

x1= -4 (не задовільняє умову);

х2 = 4

АВ = ВС = 5•4 = 20 (см)

Р(АВС) = АВ + ВС + АС

Р(АВС) = 20+20+32 = 72 (см)

Для доведення, що угол CAB дорівнює углу DBA, ми можемо скористатися властивостями прямокутних трикутників та властивостями рівності кутів.

У заданому прямокутному трикутнику DAB, ми знаємо, що угол DAB = 90°.

Також задано, що угол CBA = 90°, оскільки ABC - прямокутний трикутник із стороною AB=BC.

Загальна сума кутів в трикутнику дорівнює 180°.

Отже, за властивістю рівності кутів, ми можемо записати:

угол CAB + угол CBA + угол DBA = 180°.

Оскільки угол CBA = 90°, то:

угол CAB + 90° + угол DBA = 180°.

Віднімемо 90° від обох боків рівняння:

угол CAB + угол DBA = 90°.

Таким чином, ми довели, що угол CAB дорівнює углу DBA, оскільки сума цих кутів рівна 90°.