41) △ABC - равносторонний, все углы по 60°.
Рассмотрим △FCE
∠FEC=90°, ∠С=60°, ∠F=90°-∠C=30°
Катет против угла 30 равен половине гипотенузы.
CE=FC/2=(8+12)/2=10
AE=AC-CE=12-10=2
42) Площади треугольников с равным углом относятся как произведения прилежащих сторон.
Пусть AD=...=x, BS=...=y
S(EBN)/S(ABC) =BE*BN/BA*BC =3x*3y/5x*4y =9/20
Треугольники SNE и EBN имеют общую высоту из вершины E.
Площади треугольников с равными высотами относятся как основания.
S(SNE)/S(EBN) =SN/BN =2y/3y =2/3
S(SNE)/S(ABC) =2/3 *9/20 =3/10
43) Продлим CB и DA до пересечения в точке E.
△ABC - равносторонний, все углы по 60° (∠E=180°-∠C-∠D=60°)
△EBA - прямоугольный с углом 30° (∠EBA=90°-∠E=30°)
Катет против угла 30° равен половине гипотенузы.
Пусть EA=y, тогда EB=2y
EC=ED=CD => 2y+6 =y+8 => y=2
CD=8+2=10
***
дано:
прямоугольник АСВ
∠С = 90°
∠А = 60°
АВ = 20 см
найти АС и СВ
поскольку сумма острых углов прямоугольника равна 90°
неизвестный угол В равен 180° - 90° - 60° = 30°
т.к катет против угла 30° равна половине гипотенузы
⇔
АС = 1/2 АВ
АС = 20/2
АС = 10 см
теперь находим катет СВ по теореме Пифагора:
сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы
c² = a² + b²
AB² = AC² + CB²
отсюда
CB² = AB² - AC²
CB² = (20)² - (10)²
CB² = 400 - 100 = 300
CB = √300 = √(3 · 100) = 10√3 см
ответ: катеты прямоугольного ΔАСВ равны 10√3 см и 10 см
