1) Сумма углов треугольника = 180°, один из углов = 90°, тогда остальные два = 180°-90°=90°. Соотношение 1:2, значит один угол равен 30°, а второй — 60°. ответ: 30°; 60°.
2) B+C=53°; A-C=109°. Выражаем C по данным уравнениям: C=53°-B=A-109°. Получаем: А+B=162°. Итак, у нас 3 уравнения: А+В=162°; В+С=53°; А-С=109°. Сумма углов треугольника = 180°, т.е. А+B+C=180°. Используя уравнение В+С=53°, найдём А: А=180°-53°=127°. Подставив А в оставшиеся уравнения найдём остальные углы: А+В=162°; В=162°-127°; В=35°. А-С=109°; С=127°-109°; С=18° ответ: 127°, 35°, 18°.
Четырехугольник ABDC. Проводим диагонали и биссектрису DK. Точка К - точка пересечения диагонали AC и DK. ∠ KDB = 55°, т.к. DK - биссек. ⇒ он равен ∠KCB = 35° (по услов) ⇒ Точки K C B D лежат на одной окружности (см. рис.) Получается, вписанный четырехугольник, у которого противоположные углы в сумме 180°. Из этого следует: ∠BKC = ∠BDC = 40° ∠ABK = ∠BKC - ∠ BAC = 40 - 20 = 20° Тогда BK = AB ⇒ Тогда радиус первой окружности (около AKD) равен радиусу второй (∠ADK = ∠KDB = 55°) Поэтому: ∠CAD = ∠ ACD =
