М - середина АВ, О - центр окружности, К - точка пересечения ВО и АС. Поскольку ВК - диаметр окружности, а угол С - прямой, точка К лежит на окружности. Стороны АВС легко вычислить, поскольку угол А = 30°. ВС = AC/2 = 2√3; AC = 4√3*(√3/2) = 6; Так же MB = MC = AC/2 = 2√3; Ясно, что ВМС - равносторонний треугольник. O - центр его описанной окружности. Поэтому ВО - биссектриса угла В. При этом точка К (в которой пересекаются окружность, катет АС и биссектриса ВО) делит сторону АС в отношении АК/KC = AB/BC = 2; поэтому АК = 4, КС = 2; Так же легко сосчитать радиус окружности КО = 2; (занятно, что проще всего В ЭТОЙ ЗАДАЧЕ это увидеть, если заметить, что КОС - тоже равносторонний треугольник. Хотя R = a/√3 в любом равностороннем треугольнике...). Осталось увидеть, что угол ОКА = 120°; - внешний угол треугольнику ВКС, он равен угол AСB + угол KBC = 90° + 30°; По теореме косинусов для треугольник АОК AO^2 = 4^2 + 2^2 + 4*2 = 28; AO = 2√7; Если есть две касающиеся окружности - одна радиуса 2 с центром в О, другая - радиусом R с центром в А, то АО = R + 2; отсюда R = 2√7 - 2;
1) отрезки, на которые биссектриса делит боковую сторону, равны 8*x и a*x, где а - неизвестное основание, x тоже неизвестен. Зато известно вот что: a/2 = 8/(8*x); a/2 = 1/x; 8*x + a*x = 8; 1/x = 1 + a/8; Отсюда a/2 = 1 + a/8; a = 8/3; высота h треугольника находится так h^2 = 8^2 - (a/2)^2; h = (4/3)*√35; Площадь S = (1/2)*(8/3)*(4/3)*√35 = (16/9)*√35; 2) В равнобедренной трапеции проекция диагонали на большее основание равна средней линии (а второй отрезок, на который высота из вершины меньшего основания делит большее, то есть - проекция боковой стороны на основание - равен полуразности оснований, докажите самостоятельно, это элементарно). Поэтому высота, средняя линяя и диагональ образуют прямоугольный треугольник, произведение катетов которого рано 48, а сумма квадратов равна 10^2; m^2 + h^2 = 10^2; m*h = 48; Отсюда (m + h)^2 = 196; (m - h)^2 = 4; Если m > h, то m + h = 14; m - h = 2; h = 6; m = 8; Если m > h, то m + h = 14; h - m = 2; h = 8; m = 6; то есть - два решения h = 6 или 8; ответ можно было бы увидеть сразу, поскольку "египетский" треугольник 6,8,10 удовлетворяет условию.
0,0(0 оценок)
Полный доступ
Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota
Оформи подписку
