Докажите, что четырехугольник ABCD с вершинами в точках A(1, -1), B(-4, 4), C(-2, 6), D(3, 1) является прямоугольником.

Трапеция АВСД, АВ=СД, уголА=уголД, уголВ=уголС, ВК -высота на АД=5=СТ на АД, АС диагональ, МН-средняя линия, О - пересечение МН и АС, МО=4, ОН=9, Треугольник АВС, МО-средняя линия треугольника=1/2ВС, ВС=2*МО=4*2=8, треугольник АСД, ОН-средняя линия треугольника=1/2АД, АД=2*ОН=2*9=18, Треугольник АВК=треугольник ТСД по гипотенузе и острому углу, АК=ТД, КВСТ-прямоугольник ВС=КТ=8, АК=ТД=(АД-КТ)/2=(18-8)/2=5, треугольник АВК прямоугольный, ВН=АК=5, треугольник равнобедренный, уголА=уголАВК=90/2=45=уголД, уголВ=уголС=180-45=135

1. Найдем KM по теореме косинусов:
КМ = √(NK² + NM² - 2·NK·NM·cos60°) = √(64 + 225 - 2·8·15·0,5)
KM = √(289 - 120) = √169 = 13 см

Pkmn = 8 + 15 + 13 = 36 см

Skmn = 1/2 · NM · NK · sin60° = 1/2 · 8 · 15 · √3/2 = 30√3 см²

2. ∠С = 45° + 60° = 105°
∠B = 180° - 45° - 105° = 30°

По теореме синусов:
AC : sin∠B = BC : sin ∠A
AC = BC · sin30° / sin45° = 3√2 · 1/2 / (√2/2) = 3 см

3. Пусть х - коэффициент пропорциональности.
АВ = 4х, ВС = 7х.
В параллелограмме сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех его сторон:
(AB² + BC²) · 2 = AC² + BD²
(16x² + 49x²) · 2 = 324 + 196
65x² · 2 = 520
x² = 4
x = 2              (x = - 2 не подходит по смыслу задачи)
АВ = 4 · 2 = 8 см
ВС = 7 · 2 = 14 см

Pabcd = (AB + BC) · 2 = (8 + 14) · 2 = 44 см

4. По теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник со сторонами 7, 24 и 25 см прямоугольный:
25² = 7² + 24²
625 = 49 + 576
625 = 625

Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине гипотенузы:
R = AB/2 = 25/2 = 12,5 см

r = p - AB, где р - полупериметр.
р = (7 + 24 + 25)/2 = 56/2 = 28 см

r = 28 - 25 = 3 см