Задана пирамида ABCD A(1;1;1) B(4;1;-1) C(0;5;2) и D(-2;0;6).
Найти:
а)высоту AH.
Определяем координаты векторов из вершины А.
→АД = (-2-1)=-3; 0-1=-1; 6-1=5) = (-3; -1; 5).
→АВ = (4-1=3; 1-1=0; -1-1=-2) = (3; 0; -2).
→АС = (0-1=-1; 5-1=4; 2-1=1) = (-1; 4; 1).
Произведение векторов
a × b = {aybz - azby; azbx - axbz; axby - aybx}
(→ АВ)х(→АС) = (0 - (-8) = 8; 2 - 3 = -1; 12 - 0 = 12) = (8; -1; 12).
Объем пирамиды равен: V = (1/6)*((→ АВ)х(→АС))*(→ АД), →АД = (-3; -1; 5).
V = (1/6)*((8*(-3) + (-1)*(-1) + 12*5) = (1/6)*(-24 + 1 + 60) = 37/6.
Определяем векторы из вершины В.
→ВС = (-4; 4; 3), →ВД = (-6; -1) 7).
Их векторное произведение равно:
(→ВС)х(→ВД) = 28 + 3 = 31; -18 + 28 = 10; 4 + 24 = 28) = (31; 10; 28).
Площадь треугольника ВСД равна:
S(ВСД) = (1/2)*|(→ВС)х(→ВД)| = (1/2)√(31² + 10² + 28²) = (1/2)√1845 = = 3√205/2.
Отсюда находим длину высоты из вершины А на грань ВСД:
АН = 3V/S(ВСД) = (3*37/6)/(3√205/2) = 37√205/615 ≈ 21,47673.
б)Расстояние между прямыми, содержащими ребра AC и BD.
Определяем векторы: →АС = (-1; 4; 1) и →ВД = (-6; -1; 7) (ранее найдены).
|АС|x|ВД| =
Расстояние между ними находим из выражения:
x2 - x1 y2 - y1 z2 - z1
l1 m1 n1
l2 m2 n2
d =
|АС|x|ВД|
Подставим значения:
1 - точка А 2 - точка В Расстояние d между скрещивающ.прямыми
x1 x2 y1 y2 z1 z2
1 4 1 1 1 -1
3 0 -2
х2 - х1 3 0 -2 3 0 Опре-
Вектор АС -1 4 1 -1 4 дели-
Вектор ВД -6 -1 7 -6 -1 тель
Определитель
82 Модуль AСхВD = 38,301436
-45 = 37 Расстояние d = 0,966021222
Определитель равен: 82 – 45 = 37.
Модуль ACхВD = 38,30144 , d = 37/38,30144 = 0,966021.
ответ: расстояние d = 0,966021.
в)Угол α между прямой AH и плоскостью ABC.
Этот угол можно определить так: α = 90 – β, где угол β – угол между гранями АВС и ВСД.
Угол β равен углу между нормалями к плоскостям указанных граней.
Координаты нормали определяются векторным произведением.
Нормаль ABC 8 -1 12 модуль √(64+1+144) = √209 ≈ 14,45683.
Нормаль BCD 31 10 28 модуль √(961+100+784) = √1845 = 3√205 ≈ 42,9535.
Косинус угла β равен:
cos β = (8*31+(-1)*10+12*28)/( √209*3√205) = 574/(3√42875) ≈ 0,924359.
Угол β равен 0,391445 радиан или 22,42814 градуса.
Отсюда ответ: угол между АН и плоскостью АВС равен 90 - 22,42814 = 67,57186 градуса.
1)равные отрезки имеют равные длины.
2)геометрическая фигура, состоящая из двух лучей, исходящих из одной точки, называется углом.
3) Угол, больший прямого угла, но меньший развернутого, называется тупым.
4) Вертикальные углы равны.
5) В равных треугольниках против соответственно равных углов лежат равные стороны.
6)В любом треугольнике медианы пересекаются в одной точке.
7)треугольник, все стороны которого равны, называется равносторонним или правильным.
8) Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
9) точка, от которой все точки окружности расположены на заданном расстоянии, называется центром окружности.
10) часть окружности, ограниченная двумя точками, называется дугой.
11) если две параллельные прямые пересечены секущей, то для односторонних углов верно утверждение - их сумма равна 180°.
12) Сторона прямоугольного треугольника, лежащая против прямого угла, называется гипотенузой.
13) сумма углов треугольника равна 180°.
14) отрезок, проведенный из точки к прямой под углом, отличным от прямого, называется наклонной.
15) расстояние от произвольной точки одной из параллельных прямых до другой прямой – отрезок, проведенный перпендикулярно между этими прямыми.
