Задание 1. Написать уравнение прямой, проходящей через точку (1,2) и перпендикулярную вектору (3,-5).
Координаты перпендикулярного вектора (3,-5) - это коэффициенты общего уравнения прямой: 3х - 5у + С = 0.
Подставим координаты точки .через которую проходит прямая.
3*1 - 5*2 + С = 0.
С = 10 - 3 = 7.
ответ: уравнение 3х - 5у + 7 = 0.
Задание 2. Объясните, как вычислить расстояние между скрещивающимися прямыми, если известны их параметрические уравнения.
Оно равно смешанному произведение векторов, делённому на
векторное произведение векторов.
Задание 3. Объясните, как найти расстояние от точки (1, 2, 3) до прямой
(x-2)/1 = (y+3)/2 = (z+4)/3.
Из свойств векторного произведения известно, что модуль векторного произведения векторов равен площади параллелограмма построенного на этих векторах.
s = 1; 2; 3 - направляющий вектор прямой;
M1 = 2; -3; -4 - точка лежащая на прямой.
Тогда M0M1 = {M1x - M0x; M1y - M0y; M1z - M0z} =
(2 - 1; -3 - 2; -4 - 3) = (1; -5; -7).
Площадь параллелограмма лежащего на двух векторах M0M1 и s:
S = |M0M1 × s|
M0M1 × s =
i j k
1 -5 -7
1 2 3 =
= i(-5·3 - (-7)·2) - j(1·3 - (-7)·1) + k (1·2 - (-5)·1) =
= i(-15 + 14) - j(3 + 7) + k(2 + 5) = (-1; -10; 7).
Зная площадь параллелограмма и длину стороны, найдем высоту (расстояние от точки до прямой):
d = |M0M1×s|
|s|
= √((-1)² + (-10)² + 7²)
√(1² + 2² + 3²)
= √150
√14
= √(75 /7)
= 5√21
7
≈ 3.273268.
S₍осн₎ = 3√7
S₍бок₎ = 140
S₍полн₎ = 140 + 6√7
Объяснение:
Дано: треугольная прямая призма ABCA₁B₁C₁; основание призмы - равнобедренный треугольник со сторонами 4(боковая сторона) и 6(основание); боковое ребро призмы - 10.
РЕШЕНИЕ
В основании призмы лежит равнобедренный треугольник. Обозначим его за ΔِABC ( где A - вершина, то есть AB=AC=4 - боковые стороны, BC=6 - основание). Опустим в этом ΔِABC высоту AE ( AE ⊥ BC). По свойству равнобедренного треугольника, высота AE (как высота, опущенная из вершины равнобедренного треугольника на его основание), является {также} медианой (и биссектрисой) и делит основание BC пополам (BE = CE = BC/2 = 6/2 = = 3). Из треугольника ΔAEC ( где ∠AEC = 90° ), по теореме пифагора:
AE² = AC² - CE² ⇒ AE = √(AC² - CE²) = √(4² - 3²) = √(16 - 9) = √7
AE = √7
Находим площадь основания призмы:
S₍осн₎ {как площадь треугольника SΔ} = 1/2 * a * hₐ = 1/2 * BC * AE = 1/2 * 6 * √7 = 3√7
S₍осн₎ = 3√7
Боковые ребра призмы - прямоугольники. Если их обозначить за S₍бок₁₎ = S₍AA₁CC₁₎ = S₍AA₁BB₁₎ и S₍бок₂₎ = S₍BB₁CC₁₎, то
S₍бок₎ = 2S₍бок₁₎ + S₍бок₂₎ = 2*(10 *4) + 10 * 6 = 80 + 60 = 140
S₍бок₎ = 140
Общая же поверхность равняется:
S₍полн₎ = S₍бок₎ + 2S₍осн₎ = 140 + 2*3√7 = 140 + 6√7
S₍полн₎ = 140 + 6√7
*Замечание: в данной задаче (при желании) площадь основания (как площадь треугольника) также можно найти по формуле Геррона.
*Замечание: при решении рекомендуется сделать чертёж: это существенно упростит выполнение задания.
