1. В окружности с центром в точке O и радиусом 8,1 см проведены диаметры AB и CD. Угол АOC равен 60°. До
кажите, что прямые AD и CB параллельны, и найдите
расстояние между ними.​

Проведем МА⊥α и МВ⊥β.
МА = 12 - расстояние от М до α,
МВ = 16 - расстояние от М до β.

Пусть плоскость АМВ пересекает ребро двугранного угла - прямую а - в точке С.
МА⊥α, а⊂α, значит МА⊥а.
МВ⊥β, а⊂β, значит МВ⊥а.
Так как прямая а перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости АМВ, то она перпендикулярна этой плоскости, следовательно она перпендикулярна каждой прямой, лежащей в этой плоскости, ⇒
а⊥АС, а⊥ВС, ⇒∠АСВ = 90° - линейный угол двугранного угла;
а⊥МС, ⇒ МС - искомое расстояние.

МАСВ - прямоугольник, АС = МВ = 16.
Из прямоугольного треугольника АМС по теореме Пифагора:
МС = √(МА² + АС²) = √(16² + 12²) =  √(256 + 144) = √400 = 20

1)   3 см

2) ≈ 28°

3) ≈ 37°

4) 144 см²

Объяснение:

Пирамида правильная, значит основание - квадрат, боковые грани - равные равнобедренные треугольники, высота проецируется в центр основания - точку пересечения диагоналей квадрата.

SO - высота пирамиды.

∠SAO - угол наклона бокового ребра к плоскости основания (так как АО - проекция ребра SA на плоскость основания)

Пусть Н - середина CD, тогда SH - медиана и высота равнобедренного треугольника SCD, т.е. апофема пирамиды.

∠SHO - угол наклона боковой грани к плоскости основания (так как SH⊥CD и ОН⊥CD по теореме, обратной теореме о трех перпендикулярах)

1)  SH = 5 см

OН = AD/2 = 4 см как средняя линия треугольника ACD.

ΔSOH: (∠SOH = 90°), по теореме Пифагора

           SO = √(SH² - OH²) = √(5² - 4²) = 3 см

           sin∠SHO = SO/SH = 3/5 = 0,6

3) ∠SHO = arcsin 0,6 ≈ 37°

2) AC = AB√2 как диагональ квадрата,

АС = 8√2 см, АО = АС/2 = 4√2 см

ΔSAO: (∠SOA = 90°),

           tg∠SAO = SO/AO = 3 / (4√2) = 3√2/8

∠SAO = arctg 3√2/8 ≈ 28°

4) Sполн = Sосн + Sбок

Sосн = АВ² = 8² = 64 см²

Sбок = 1/2 Pосн · SH = 1/2 · 4 · 8 · 5 = 80 см²

Sполн = 64 + 80 = 144 см²