1.Найдите координаты середины отрезка AB, если A(-6;1), B(-4;5). 2.Найдите координаты середины отрезка AB, если A(-4;8), B(-1;-4). 3.Точка Е-середина отрезка АВ. Найдите координаты второго конца отрезка АВ, если A(0;0), B(-2;2).
Будем использовать следующие известные факты (они все легко доказываются): 1) Угол между биссектрисами двух углов треугольника равен 90° плюс половина третьего угла треугольника. 2) Биссектриса треугольника пересекает его описанную окружность в точке, лежащей на серединном перпендикуляре к той стороне, к которой проведена биссектриса. 3) Вписанный в окружность угол в 60° опирается на хорду равную R√3.
Пусть E и F - точки пересечения биссектрис треугольников ABD и АСD соответственно. Тогда из этих треугольников в силу 1) получаем ∠AED=∠AFD=90°/2+90°=135°. Значит AEFD - вписанный 4-угольник и радиус окружности описанной вокруг него равен AD/(2sin∠AED))=2/(2/√2)=√2=EF. Центр О этой окружности лежит на серединном перпендикуляре к AD и OH=1 т.к. HD=1 и OD=√2, где H - середина AD. Кроме того, треугольник OEF - равносторонний. С другой стороны, в силу факта 2) прямые BE и CF также пересекаются в точке О, т.к. прямоугольные треугольники ABD и ACD вписаны в окружность с центром H и радиусом HD=1. Таким образом, угол ∠BOC=∠EOF=60°, а значит по свойству 3) BC=√3.
ABC = 110° Представлю углы ABF и CBF в виде х Пусть ABF = х, тогда CBF = х + 12° Тогда получим, что ABC = х + х + 12 = 110° a) Решим уравнение и найдём ABF и CBF х + х + 12° = 110° 2х + 12° = 110° 2х = 98° х = 49° => ABF = 49° CBF = 49° + 12° = 61° б) найду меру угла, образованного биссектрисой углов ABF и CBF Обозначу биссектрисы буквами D и E так как биссектрисы делят углы на два равных угла, разделю зачения углов ABF и CBF и сложу их.
