Даны точки А(0,2,-1) , В(1,0,1) и С (-1,4,3) . В треугольнике АВС найдите : 1 ) длину медианы АА1, 2) cos угла C с полным решением и формулами ​

Давай попробуем рассуждать логически.

Во-первых, заметим, что раз касательная касается окружности в точке С, то радиус, проведённый из С будет перпендикулярен касательной. Соответственно, радиус имеет длину R. 

Обозначим проекции точек А и В на касательную соответственно А1 и В1. Тогда в прямоугольной трапеции А А1 В1 В внезапно обнаружим, что ОС является средней линией, потому что ОА = R, и ОВ также равно R. Раз такое дело, то радиус R является средним арифметическим оснований трапеции. Допустим, меньшее основание А А1 имеет длину х, тогда радиус R=2х, и большее основание В В1 = 3х.

Следовательно, продолжая гипотенузу АВ и касательную до пересечения (назовём точку пересечения буквой М)  увидим, что АМ=R.

Далее применим теорему о секущей, которая  скажет, что МС^2 = МА * МВ = R * 3R = 3*R^2. Отсюда МС = R * корень(3), то есть отношение МС/R = корень(3). По ходу, полученное отношение является тангенсом угла МОС, ибо угол МСО прямой. А тангенс какого угла равен корню(3) ? -- это угол 60 градусов, как нам известно из таблиц Брадиса.

Осталось последнее действие - заметить, что искомый угол В составляет половину от МОС, т.к.они опираются на одну и ту же дугу АС, но при этом АОС центральный, а В вписанный.

Итого, ответ: угол АВС = 60 / 2 = 30 градусов.

Ну, у меня так получилось.Лучше проверь за мной.

1) т.к. сумма углов треугольника=180*, то угол А=180-(82+40)=58*

2) т.к. СС1-биссектриса угла С, то угол С1СВ и угол С1СА=20*

3) т.к. АА1-биссектриса угла А, то угол ВАА1 и угол А1АС=29*

4) т.к. сумма углов треугольника=180*, то угол ВС1С=180-(82+20)=78*

5) т.к. сумма углов треугольника=180*, то угол ВА1А=180-(82+29)=69*

6) из 2 пункта следует, что угол С1СА=20*

из 3 пункта следует, что угол А1АС=29*

7) т.к. сумма углов треугольника=180*, то из 6 пункта следует, что угол АМС=180-(29+20)=131*

8) т.к. угол АМС и угол С1МА1 вертикальные, следовательно они равны, следовательно угол С1МА1=131*
 Или так:1) угол С1СА=40:2=20

уголМАС=(180-82-40):2=29

уголС1МА1=углуАМС=180-20-29=131

2)угол ВС1С=180-20-82=78

3)угол ВА1М=360-78-131-82=69