2 б) На рисунку АМИ MT. AM = 4 см, HT = 5 см. Знайдіть SHAT

Обозначим биссектрису СК. Одно из свойств биссектрисы: отношение отрезков, на которые биссектриса делит сторону, противоположную углу, из которого проведена, равно отношению сторон, содержащих этот угол. 

АК:ВК=АС:ВС 

Пусть коэффициент этого отношения а. 

Тогда АК=8а, ВК=6а

Отношение ВС:АС =3:4 - отношение катетов египетского треугольника, поэтому гипотенуза  АВ=10 см

АВ по т.Пифагора АВ также найдем равной 10 см. 

а=АВ:(8+6)=5/7 Отсюда 

АК=8•4/7=40/7

sin A=BC:AB=6:10=0,6 

По т.синусов 

СК/sin∠CAK=AK/sin∠ACK

CK:0,6=40/7):√2/2

CK=48:7√2=24√2):7= ≈4,849 см

-------------

Примечание: для биссектрисы треугольника есть формула. В частности, для прямоугольного треугольника нахождение биссектрисы через катеты  она дана в приложении с рисунком. 

Пусть АВС - равнобедренный треугольник с вершиной А, основанием ВС, известными боковыми сторонами AB=AC= a (см). BD - известная медиана, проведенная к боковой стороне АС. В равнобедренном треугольнике медианы, проведенные к боковым сторонам, равны. BD=CE= b (cм)
Медианы равнобедренного треугольника пересекаются в одной точке О (центре тяжести треугольника), которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от угла, из которого они исходят ⇒ 
BO=CO= b* 2/3 = 2b/3
DO=EO=b * 1/3 = b/3
Строим треугольник. Чертим отрезок AB, равный а см. Находим середину этого отрезка и отмечаем точку Е. Раствором циркуля, равным EO, чертим дугу окружности с центром в точке Е. Раствором циркуля, равным ВО, чертим дугу окружности с центром в точке В. Дуги пересекутся в точке О, которая является центром тяжести данного треугольника. Из точки Е через точку О чертим отрезок CE, равный известной медиане (b). Соединяем точки A, B, C. Получаем искомый треугольник