1) В данной задаче фокальные радиусы должны быть катетами прямоугольного треугольника, вписанного в окружность радиусом, равным расстоянию от центра гиперболы до её фокуса (это параметр «с»).
По заданному уравнению гиперболы определяем длины полуосей.
a = √16 = 4, b = √9 = 3.
Тогда с = √(4² + 3²) = √(16 + 9) = √25 = 5.
Искомая точка А – это точка пересечения заданной гиперболы и окружности, уравнение которой x² + y² = 5².
Отсюда y² = 25 - x² подставляем в уравнение гиперболы.
(x²/16) – ((25 - x²)/9) = 1,
9x² – 400 + 16x = 144,
25x² = 544,
x² = 544/25,
x = √(544/25) = 4√34/5 ≈ 4,66476,
y = √(25 - x²) = √(25 – (544/25)) = √(81/25) = 9/5 = 1,8.
ответ: точка А((4√34/5); 1,8).
2) Расстояния от фокусов до точки гиперболы – это фокальные радиусы.
По заданию √((x + c)² + y²) = 2√((x - c)² + y²).
Возведём в квадрат обе части.
(x + c)² + y² = 4((x - c)² + y²), раскрываем скобки и подставляем найденное значение с = 5.
x² + 10x + 25 + y²= 4(x² - 10x + 25 + y²),
x² + 10x + 25 + y²= 4x² - 40x + 100 + 4y²,
3x² - 50x + 75 + 3y² = 0.
Решаем систему из полученного уравнения и уравнения гиперболы.
{9x² – 16 y² - 144 = 0 |x3 = 27x² – 48 y² - 432 = 0
{3x² - 50x + 75 + 3y² = 0 |x16 = 48x² - 800x + 1200 + 48y² = 0
75x² - 800x + 768 = 0.
Решаем полученное квадратное уравнение.
Ищем дискриминант:
D=(-800)^2-4*75*768=640000-4*75*768=640000-300*768=640000-230400=409600.
Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
x_1=(√409600-(-800))/(2*75)=(640-(-800))/(2*75)=(640+800)/(2*75)=1440/(2*75)=1440/150=9,6;
x_2=(-√409600-(-800))/(2*75)=(-640-(-800))/(2*75)=(-640+800)/(2*75)=160/(2*75)=160/150=16/15≈1.066667.
Второй корень отбрасываем, так как гипербола не имеет такой абсциссы.
Находим значение у.
y = √((1/16)(9x² - 144)) = √((1/16)*(9*9,6² - 144) = √17136/20 = 3√119/5.
ответ: точка В(9,6; 3√119/5).
